V tomto článku sa budeme zaoberať riešením problémov z úlohy 17, v ktorých je potrebné optimálne rozdeliť výrobu výrobkov pre maximálny zisk.

Cieľ 1. V konzervárni sa vyrábajú ovocné kompoty v dvoch typoch nádob - sklo a cín. Výrobná kapacita závodu umožňuje vyrábať 90 centov kompotov v sklenených nádobách alebo 80 centrov v plechových nádobách za deň. Na splnenie podmienok sortimentu, ktoré predstavujú obchodné reťazce, musia byť výrobky v každom type kontajnera vyrobené najmenej z 20 centier. V tabuľke sú uvedené hlavné náklady a predajná cena závodu za 1 centimeter výroby pre oba typy kontajnerov.

Za predpokladu, že sú potrebné všetky výrobky závodu (predávané bez zvyšku), nájdite maximálny možný zisk závodu za jeden deň (zisk je rozdiel medzi predajnými nákladmi všetkých výrobkov a ich nákladmi).

Výška zisku závisí od toho, ako sa bude distribuovať výrobná kapacita v závode, to znamená, ktorá časť kapacity bude nasmerovaná na výrobu kompotov v sklenených nádobách a aká časť - v plechových nádobách. Hodnota, od ktorej závisí zisk, sa bude považovať za neznámu.

Nech je hodnota súčasťou kapacít závodu zameraných na výrobu kompotov v sklenených nádobách. Potom zostávajúca kapacita, to znamená, bola zameraná na výrobu kompótov v plechových nádobách.

V tomto prípade bude závod vyrábať centnery kompótu v sklenených nádobách a centimetre v plechových nádobách.

Zisk z jedného centiera výroby sa rovná rozdielu medzi predajnou cenou a nákladovou cenou. teda

1 centner kompotov v sklenených nádobách vytvára zisk

1 center kompotov v plechovej nádobe vytvára zisk

Výsledkom bude, že výsledný zisk bude v závislosti od toho

Zjednodušte výraz pre funkciu

Koeficient na je väčší ako nula, preto je to funkcia zvyšujúca sa a čím vyššia je hodnota, tým väčší je zisk. Podľa stavu problému je však nemožné dať všetku kapacitu na výrobu kompotov v sklenených nádobách: na splnenie podmienok sortimentu, ktoré predstavujú obchodné reťazce, musia byť výrobky v každom type kontajnera vyrobené najmenej z 20 centov.

Poďme zistiť, aká časť kapacity musí byť poskytnutá na výrobu kompótov v plechových nádobách:

Na výrobu kompotov v cínových nádobách je potrebné uviesť časť kapacity závodu, a preto sa na výrobu kompótov v sklenených nádobách môže uviesť maximum zo všetkých kapacít.

Odpoveď:.

Cieľ 2. Farmár má dve polia, z ktorých každé má rozlohu 10 hektárov. Každé pole môže pestovať zemiaky a repu a polia sa môžu medzi týmito plodinami rozdeliť v akomkoľvek pomere. Výťažok zemiakov v prvom poli je 500 c / ha av druhom - 300 c / ha. Úroda repy v prvom poli je 300 c / ha av druhom - 500 c / ha.

Farmár môže predávať zemiaky za 5 000 rubľov. percent a cukrovej repy - za cenu 8 000 rubľov. na centner. Aký je najväčší príjem, ktorý môže poľnohospodár zarobiť?

(zo zbierky Typické testovacie úlohy z matematiky, editoval I. V. Yashchenko. 2016)

Výška príjmu poľnohospodára závisí od toho, ako bude plocha každého poľa rozdelená medzi výsadbu zemiakov a repy.

Nechajte poľnohospodára vyčleniť hektáre na zemiaky na prvom poli. Hektáre sa potom ponechajú na repu.

Výťažok zemiakov na prvom poli je 500 c / ha a repa 300 c / ha.

V takom prípade bude zisk z prvého poľa - máme rastúcu funkciu, ktorá berie najvyššiu hodnotu s maximom možným. Keďže poľnohospodár nemá žiadne obmedzenia týkajúce sa rozdelenia výsadbových plôch medzi zemiaky a repu, je preňho výhodné, aby dal celé prvé pole pre zemiaky, a preto bude mať zisk:

Rub.

To isté urobíme aj s druhým poľom.

Nechajte farmára vyčleniť hektáre na zemiaky v druhom poli. Hektáre sa potom ponechajú na repu.

Výťažok zemiakov v druhom poli je 300 c / ha a 500 c / ha repy.

Ak o tom premýšľate, nepotrebujete tu ani zložiť funkciu, pretože úroda repy v druhom poli je vyššia ako úroda zemiakov a cena jedného centa repy je tiež vyššia. Preto je zrejmé, že pre poľnohospodára je výhodnejšie pestovať iba repu v druhom poli. V takom prípade bude zisk z druhého poľa

Rub.

Celkový zisk poľnohospodára sa rovná RUB.

odpoveď:

Dnes sa trochu odchýlime od štandardných logaritmov, integrálov, trigonometrie atď. A zároveň zvážime zásadnejší problém z skúšky z matematiky, ktorá priamo súvisí s našou zaostalou ruskou ekonomikou založenou na zdrojoch. Presnejšie povedieme problém vkladov, úrokov a pôžičiek. Pretože k druhej časti zjednotenej štátnej skúšky z matematiky sa nedávno pridali problémy s percentuálnymi hodnotami. Ihneď urobím rezerváciu, že podľa špecifikácií USE sú ponúknuté tri základné body naraz na vyriešenie tohto problému, to znamená, že skúšajúci považujú túto úlohu za jednu z najťažších.

Zároveň, ak chcete vyriešiť niektorý z týchto problémov z skúšky z matematiky, musíte poznať iba dva vzorce, z ktorých každý je úplne prístupný každému absolventovi školy. Z dôvodov, ktorým nerozumiem, však tieto vzorce úplne ignorujú učitelia škôl aj kompilátori všetkých problémov pri príprave. na skúšku. Preto vám dnes nielen poviem, aké sú tieto vzorce a ako ich používať, ale odvodím každé z týchto vzorcov doslova pred vašimi očami, pričom ako základ vezmem do úvahy problémy otvorenej banky USE v matematike.

Preto sa táto lekcia ukázala ako dosť objemná, dosť poučná, takže si sadnite a začíname.

Investujeme do banky

Najskôr by som chcel urobiť malú lyrickú degresiu súvisiacu s financiami, bankami, pôžičkami a vkladmi, na základe ktorých dostaneme vzorce, ktoré použijeme na vyriešenie tohto problému. Poďme sa trochu odchyľovať od skúšok, od nadchádzajúcich školských problémov a pozeráme sa do budúcnosti.

Povedzme, že ste vyrástli a chystáte sa kúpiť byt. Povedzme, že si nekúpite zlý byt na okraji mesta, ale dobrý kvalitný byt za 20 miliónov rubľov. Zároveň predpokladajme, že máte viac alebo menej normálnu prácu a zarábate 300 tisíc rubľov mesačne. V tomto prípade môžete ročne vyčleniť asi tri milióny rubľov. Samozrejme, zarábajúc 300 tisíc rubľov mesačne, na rok dostanete o niečo väčšie množstvo - 3 600 000 - ale nechajte ich 600 000 minúť na jedlo, oblečenie a iné každodenné radosti z domácnosti. Celkové vstupné údaje sú nasledujúce: musíte zarobiť dvadsať miliónov rubľov, ale máme k dispozícii iba tri milióny rubľov ročne. Vzniká prirodzená otázka: Koľko rokov musíme vyčleniť tri milióny, aby sme ich dostali dvadsať miliónov. Toto sa považuje za základné:

\\ [\\ frac (20) (3) \u003d 6, .... \\ do 7 \\]

Ako sme sa už s vami už zmienili, zarobíte 300 000 rubľov mesačne, čo znamená, že ste šikovní ľudia a nebudete šetriť peniaze „pod vankúšom“, ale vezmite ich do banky. Z týchto vkladov, ktoré prinesiete banke každý rok, sa preto budú účtovať úroky. Povedzme, že si vyberiete spoľahlivú, ale zároveň viac či menej ziskovú banku, a preto vaše vklady ročne porastú o 15% ročne. Inými slovami, môžeme povedať, že suma na vašich účtoch sa bude zvyšovať 1,15-krát ročne. Dovoľte mi pripomenúť vzorec:

Vypočítajme, koľko peňazí bude na vašich účtoch po každom roku:

V prvom roku, keď práve začnete šetriť peniaze, sa nebudú hromadiť žiadne úroky, to znamená, že na konci roka ušetríte tri milióny rubľov:

Na konci druhého roka sa zvýšia úroky z troch miliónov rubľov, ktoré zostali z prvého roka, t. musíme sa vynásobiť koeficientom 1,15. V druhom roku ste však nahlásili aj ďalšie tri milióny rubľov. Úroky z týchto troch miliónov sa, samozrejme, ešte neúčtovali, pretože do konca druhého roka sa tieto tri milióny práve objavili na účte:

Takže tretí rok. Na konci tretieho roka sa z tejto sumy nahromadia úroky, to znamená, že túto celú sumu musíte vynásobiť 1,15. A znova ste tvrdo pracovali po celý rok a odložili viac o tri milióny rubľov:

\\ [\\ doľava (3m \\ cdot 1,15 + 3m \\ right) \\ cdot 1,15 + 3m \\]

Vypočítajme ďalší štvrtý rok. Celková suma, ktorú sme dostali do konca tretieho roka, sa opäť vynásobí 1,15, t. z celej sumy sa bude účtovať úrok. Účtuje sa najmä úrok z úrokov. K tejto sume sa pripočítajú ďalšie tri milióny, pretože počas štvrtého roka ste tiež pracovali a ušetrili ste peniaze:

\\ [\\ left (\\ left (3m \\ cdot 1,15 + 3m \\ right) \\ cdot 1,15 + 3m \\ right) \\ cdot 1,15 + 3m \\]

Teraz otvorme zátvorky a uvidíme, koľko budeme mať do konca štvrtého roka šetrenia peňazí:

\\ [\\ begin (zarovnanie) & \\ left (\\ left (3m \\ cdot 1,15 + 3m \\ right) \\ cdot 1.15 + 3m \\ right) \\ cdot 1.15 + 3m \u003d \\\\ & \u003d \\ left ( 3m \\ cdot ((1.15) ^ (2)) + 3m \\ cdot 1,15 + 3m \\ right) \\ cdot 1,15 + 3m \u003d \\\\ & \u003d 3m \\ cdot ((1.15) ^ (3 )) + 3m \\ cdot ((1,15) ^ (2)) + 3m \\ cdot 1,15 + 3m \u003d \\\\ & \u003d 3m \\ left (((1,15) ^ (3)) + ((1) , 15) ^ (2)) + 1,15 + 1 \\ right) \u003d \\\\ & \u003d 3m \\ left (1 + 1,15 + ((1,15) ^ (2)) + ((1,15) ^ (3)) \\ right) \\\\\\ end (zarovnanie) \\]

Ako vidíte, v zátvorkách máme prvky geometrickej postupnosti, to znamená, že máme súčet prvkov geometrickej postupnosti.

Dovoľte mi pripomenúť, že ak je geometrická postupnosť určená prvkom $ ((b) _ (1)) $ a menovateľom $ q $, súčet prvkov sa vypočíta podľa nasledujúceho vzorca:

Tento vzorec musí byť známy a jasne aplikovaný.

Poznámka: vzorec ntento prvok znie takto:

\\ [((b) _ (n)) \u003d ((b) _ (1)) \\ cdot ((q) ^ (n-1)) \\]

Z tohto dôvodu je veľa študentov zmätených. Celkovo máme npre sumu n-prvky a sám n-tý prvok má stupeň $ n-1 $. Inými slovami, ak sa teraz pokúsime vypočítať súčet geometrickej progresie, potom by sa malo vziať do úvahy toto:

\\ [\\ begin (zarovnanie) & (b) _ (1)) \u003d 1 \\\\ & q \u003d 1,15 \\\\\\ end (zarovnanie) \\]

\\ [((S) _ (4)) \u003d 1 \\ cdot \\ frac (((1,15) ^ (4)) - 1) (1,15-1) \\]

Počítame čitateľa osobitne:

\\ [((1,15) ^ (4)) \u003d ((\\ left ((1,15) ^ (2)) \\ right)) ^ (2)) \u003d ((\\ \\ left (1,3225 \\ right) )) ^ (2)) \u003d 1,74900625 \\ približne 1,75 \\]

Celkom sa vrátime k súčtu geometrickej progresie a dostaneme:

\\ [((S) _ (4)) \u003d 1 \\ cdot \\ frac (1,75-1) (0,15) \u003d \\ frac (0,75) (0,15) \u003d \\ frac (75) (15) ) \u003d 5 \\]

Výsledkom je, že za štyri roky úspor sa naša počiatočná suma nezvýši štyrikrát, ako keby sme do banky nevložili peniaze, ale päťkrát, to znamená pätnásť miliónov. Napíšme to osobitne:

4 roky → 5 krát

Pri pohľade do budúcnosti poviem, že keby sme ušetrili štyri roky, ale päť rokov, nakoniec by sa naša výška úspor zvýšila 6,7-krát:

5 rokov → 6,7 krát

Inými slovami, do konca piateho roka by sme na účet dostali túto sumu:

To znamená, že do konca piateho roku úspor by sme vzhľadom na úrok z vkladu dostali už vyše dvadsať miliónov rubľov. Celkový sporiaci účet z úrokov bánk by tak klesol z takmer siedmich na päť rokov, tj o takmer dva roky.

Preto aj napriek tomu, že banka účtuje pomerne nízke úroky z našich vkladov (15%), týchto 15% prinesie po piatich rokoch zvýšenie, ktoré výrazne prevyšuje náš ročný zisk. Okrem toho sa hlavný multiplikačný efekt pozoroval v posledných rokoch a dokonca aj v poslednom roku úspor.

Prečo som to všetko napísal? Samozrejme, že vás nemám rozrušiť, aby ste peniaze nosili do banky. Pretože ak naozaj chcete zvýšiť svoje úspory, musíte ich investovať nie do banky, ale do skutočne fungujúceho podnikania, kde tieto veľmi úrokové sadzby, to znamená, ziskovosť v ruskej ekonomike zriedka klesne pod 30%, to znamená dvakrát toľko bankové vklady.

Vo všetkých týchto úvahách je však skutočne užitočný vzorec, ktorý nám umožňuje nájsť celkovú výšku vkladu prostredníctvom výšky ročných platieb, ako aj prostredníctvom úrokov, ktoré banka účtuje. Takže píšeme:

\\ [\\ text (Vklad) \u003d \\ text (platezh) \\ frac (((\\ \\ text (%)) ^ (n)) - 1) (\\ text (%) - 1) \\]

Samotné% sa vypočíta pomocou tohto vzorca:

Musíte tiež poznať tento vzorec, rovnako ako základný vzorec pre výšku vkladu. A na druhej strane, základný vzorec môže významne znížiť výpočty v tých problémoch s percentami, kde je potrebné vypočítať príspevok.

Prečo používať vzorce skôr ako tabuľky?

Mnohí budú pravdepodobne mať otázku, ale prečo sú všetky tieto ťažkosti vôbec možné jednoducho zapísať každý rok do tabletu, ako je to v mnohých učebniciach, počítať každý rok osobitne a potom vypočítať celkovú sumu príspevku? Samozrejme môžete úplne zabudnúť na súčet geometrického postupu a všetko počítať pomocou klasických tabliet - to sa deje vo väčšine zbierok na prípravu na skúšku. Po prvé, objem výpočtov sa dramaticky zvyšuje a po druhé, v dôsledku toho sa zvyšuje pravdepodobnosť chyby.

Mimochodom, použitie tabuliek namiesto tohto nádherného vzorca je ako kopanie zákopov rukami na stavenisku namiesto toho, aby ste používali plne funkčný bagr, ktorý stojí neďaleko.

Nuž, alebo to isté ako vynásobenie päťnásobkom desiatich nepoužitím tabuľky násobenia, ale pridaním päťkrát k sebe desaťkrát za sebou. Už som sa však odklonil, a preto znova zopakujem najdôležitejšiu myšlienku: ak existuje spôsob, ako zjednodušiť a skrátiť výpočty, mala by sa použiť táto metóda.

Úroky z pôžičiek

Prišli sme na vklady, takže prejdeme k ďalšej téme, konkrétne k úrokom z pôžičiek.

Takže, keď šetríte peniaze, starostlivo plánujete svoj rozpočet, premýšľate o svojom budúcom byte, spolužiačku a teraz jednoduchú nezamestnanú osobu, dnes ste sa rozhodli žiť a vzali si pôžičku. Zároveň vás bude dráždiť a smiať sa, hovoria, že má kreditný telefón a ojazdené auto, požičal si na úver, stále jazdíte v metre a používate starý tlačidlový telefón. Samozrejme, za všetky tieto lacné „predvádzanie“ bude musieť váš bývalý spolužiak platiť draho. Aké drahé - to je to, čo vypočítame práve teraz.

Najprv krátky úvod. Povedzme, že váš bývalý spolužiak vzal dva milióny rubľov na úver. Okrem toho musí podľa zmluvy platiť mesačné rubly. Povedzme, že vzal pôžičku vo výške 20% ročne, čo vyzerá za súčasných podmienok celkom slušne. Predpokladajme tiež, že lehota splatnosti je iba tri mesiace. Skúsme prepojiť všetky tieto hodnoty do jedného vzorca.

Hneď na začiatku, hneď ako váš bývalý spolužiak opustil banku, má vo vrecku dva milióny, a to je jeho dlh. Okrem toho neprešiel ani jeden rok, ani mesiac, ale to je len začiatok:

O mesiac neskôr sa z dlžnej sumy účtuje úrok. Ako už vieme, na výpočet úroku stačí vynásobiť pôvodný dlh koeficientom, ktorý sa vypočíta pomocou tohto vzorca:

V našom prípade hovoríme o miere 20% ročne, to znamená, že môžeme napísať:

Je to koeficient sumy, ktorá sa bude účtovať ročne. Náš spolužiak však nie je veľmi múdry a zmluvu nečítal. V skutočnosti mu nebola poskytnutá pôžička vo výške 20% ročne, ale 20% mesačne. A do konca prvého mesiaca sa z tejto sumy nahromadia úroky a zvýšia sa 1,2-krát. Ihneď potom bude musieť osoba zaplatiť dohodnutú sumu, t. J. V rubľoch za mesiac:

\\ [\\ left (2m \\ cdot 1,2- x \\ right) \\ cdot 1,2-x \\]

A opäť, náš chlapec vykoná platbu za rubly $ x $.

Potom sa do konca tretieho mesiaca výška jeho dlhu opäť zvýši o 20%:

\\ [\\ left (\\ left (2m \\ cdot 1,2- x \\ right) \\ cdot 1,2- x \\ right) 1,2- x \\]

A podľa podmienky musí zaplatiť v plnej výške tri mesiace, to znamená, že po vykonaní poslednej tretej platby musí byť objem jeho dlhu nulový. Túto rovnicu môžeme napísať:

\\ [\\ left (\\ left (2m \\ cdot 1,2- x \\ right) \\ cdot 1,2- x \\ right) 1,2 - x \u003d 0 \\]

Poďme sa rozhodnúť:

\\ [\\ begin (zarovnanie) & \\ doľava (2m \\ cdot ((1,2) ^ (2)) - x \\ cdot 1,2- x \\ right) \\ cdot 1,2- x \u003d 0 \\\\ & 2m \\ cdot ((1,2) ^ (3)) - x \\ cdot ((1,2) ^ (2)) - x \\ cdot 1,2- x \u003d 0 \\\\ & 2m \\ cdot ((1,2 ) ^ (3)) \u003d \\ cdot ((1,2) ^ (2)) + \\ cdot 1,2+ \\\\ & 2m \\ cdot ((1,2) ^ (3)) \u003d \\ left ((( 1,2) ^ (2)) + 1,2 + 1 \\ vpravo) \\\\\\ end (zarovnanie) \\]

Pred nami je opäť geometrická progresia alebo skôr súčet troch prvkov geometrickej progresie. Prepíšme to vzostupne podľa prvkov:

Teraz musíme nájsť súčet troch prvkov geometrickej progresie. Píšme:

\\ [\\ begin (zarovnanie) & (b) _ (1)) \u003d 1; \\\\ & q \u003d 1,2 \\\\\\ end (zarovnanie) \\]

Teraz nájdeme súčet geometrickej progresie:

\\ [((S) _ (3)) \u003d 1 \\ cdot \\ frac (((1,2) ^ (3)) - 1) (1,2-1) \\]

Malo by sa pripomenúť, že súčet geometrickej postupnosti s takýmito parametrami $ \\ left (((b) _ (1)); q \\ right) $ sa vypočíta podľa vzorca:

\\ [((S) _ (n)) \u003d ((b) _ (1)) \\ cdot \\ frac (((q) ^ (n)) - 1) (q-1) \\]

Práve sme použili tento vzorec. Tento vzorec nahrádzame do nášho výrazu:

Pre ďalšie výpočty musíme zistiť, čo je $ ((1,2) ^ (3)) $. Bohužiaľ, v tomto prípade už nemôžeme maľovať ako naposledy vo forme dvojitého štvorca, ale môžeme ho vypočítať takto:

\\ [\\ begin (zarovnanie) & ((1,2) ^ (3)) \u003d ((1,2) ^ (2)) \\ cdot 1,2 \\\\ & ((1,2) ^ (3)) \u003d 1,44 \\ cdot 1,2 \\\\ & ((1,2) ^ (3)) \u003d 1,728 \\\\\\ end (zarovnanie) \\]

Prepíšeme náš výraz:

Toto je klasický lineárny výraz. Vráťme sa k nasledujúcemu vzorcu:

V skutočnosti, ak to zhrnieme, dostaneme vzorec spájajúci úroky, pôžičky, platby a podmienky. Vzorec je nasledujúci:

Tu je to najdôležitejšia receptúra \u200b\u200bdnešnej videonahrávky, pomocou ktorej sa počíta najmenej 80% všetkých ekonomických problémov z matematickej skúšky v druhej časti.

V skutočných problémoch budete najčastejšie požiadaní o platbu alebo o niečo menej často o pôžičku, to znamená celkovú sumu dlhu, ktorú mal náš spolužiak na samom začiatku platby. Pri zložitejších úlohách budete požiadaní, aby ste našli percento, ale veľmi ťažké, ktoré budeme analyzovať v samostatnej videonávode, budete požiadaní, aby ste našli podmienky, počas ktorých bude náš nezamestnaný spolužiak schopný vzhľadom na parametre úveru a platby v plnej výške zaplatiť banke.

Možno si niekto teraz pomyslí, že som tvrdý oponent pôžičiek, financií a bankového systému všeobecne. Takže nič také! Naopak, som presvedčený, že úverové nástroje sú pre našu ekonomiku veľmi užitočné a mimoriadne potrebné, ale iba pod podmienkou, že sa pôžička použije na rozvoj podnikania. Ako poslednú možnosť si môžete vziať pôžičku na kúpu domu, čiže hypotéku alebo na pohotovostnú lekársku starostlivosť - to sú všetko, jednoducho neexistujú žiadne iné dôvody na to, aby ste si požičali. A všetky druhy nezamestnaných, ktorí si berú pôžičky na kúpu „predvádzania“, a zároveň si vôbec neuvažujú o dôsledkoch a stávajú sa príčinou kríz a problémov v našej ekonomike.

Pokiaľ ide o tému dnešnej hodiny, rád by som poznamenal, že je tiež potrebné poznať tento vzorec, ktorý spája pôžičky, platby a úroky, ako aj súčet geometrického postupu. S pomocou týchto vzorcov sa riešia skutočné ekonomické problémy zo skúšky z matematiky. Teraz, keď to všetko dobre viete, keď pochopíte, čo je to pôžička a prečo by ste si ju nemali vziať, obraciame sa na riešenie skutočných ekonomických problémov z skúšky z matematiky.

Riešime skutočné problémy zo skúšky z matematiky

Príklad č. 1

Takže prvá úloha:

31. decembra 2014 Alexey uzavrel z banky 9 282 000 rubľov z pôžičky vo výške 10% ročne. Schéma splácania úveru je nasledovná: 31. decembra každého nasledujúceho roku banka nazhromaždí úrok zo zvyšnej sumy dlhu (t. J. Zvýši dlh o 10%), potom Alexey prevedie do banky X rubľov. Aká by mala byť suma X, aby Alexey splatil dlh v štyroch rovnakých splátkach (t. J. Do štyroch rokov)?

Ide teda o problém s pôžičkou, preto si okamžite zapíšeme náš vzorec:

Poznáme pôžičku - 9 282 000 rubľov.

Teraz sa budeme zaoberať záujmom. Hovoríme o 10% v úlohe. Preto ich môžeme preložiť:

Môžeme urobiť rovnicu:

Dostali sme obvyklú lineárnu rovnicu pre $ x $, hoci s dosť impozantnými koeficientmi. Skúsme to vyriešiť. Najprv nájdeme výraz $ ((1,1) ^ (4)) $:

$ \\ begin (zarovnanie) & ((1,1) ^ (4)) \u003d ((\\ left (((1,1) ^ (2)) \\ right)) ^ (2)) \\\\ & 1,1 \\ cdot 1,1 \u003d 1,21 \\\\ & ((1,1) ^ (4)) \u003d 1 464 \\\\\\ end (zarovnanie) $

Teraz prepíšeme rovnicu:

\\ [\\ begin (zarovnanie) & 9289000 \\ cdot 1.4641 \u003d x \\ cdot \\ frac (1.4641-1) (0,1) \\\\ & 9282000 \\ cdot 1.4641 \u003d x \\ cdot \\ frac (0, 4641) (0,1) |: 10000 \\\\ & 9282000 \\ cdot \\ frac (14641) (10000) \u003d x \\ cdot \\ frac (4641) (1000) \\\\ & \\ frac (9282 \\ cdot 14641) (10) \u003d x \\ cdot \\ frac (4641) (1000) |: \\ frac (4641) (1000) \\\\ & x \u003d \\ frac (9282 \\ cdot 14641) (10) \\ cdot \\ frac (1000) (4641) \\\\ To je všetko, náš problém so záujmom je vyriešený.

Samozrejme, to bol len najjednoduchší problém s percentom zo skúšky z matematiky. Pri skutočnej skúške takáto úloha pravdepodobne nebude. A ak sa tak stane, potom sa považujte za veľmi šťastného. Pre tých, ktorí radi počítajú a neradi riskujú, prejdeme k ďalším zložitejším úlohám.

Príklad č. 2

{!LANG-922c7f46094327d46f6d25af6523f04a!}

31. decembra 2014 Stepan uzavrel z banky 4 004 000 rubľov s pôžičkou vo výške 20% ročne. Schéma splácania úveru je nasledovná: 31. decembra každého nasledujúceho roku banka nazhromaždí úrok zo zostávajúceho dlhu (tj zvýši dlh o 20%), potom Stepan banke uskutoční platbu. Stepan zaplatil celý dlh za 3 rovnaké platby. Koľko rubľov menej by dal banke, keby mohol splatiť dlh za 2 rovnaké platby.

Máme problém s pôžičkami, preto si zapíšeme náš vzorec:

\[\]\

Čo vieme? Najprv poznáme celkovú pôžičku. Poznáme aj percentá. Nájdeme koeficient:

Pokiaľ ide o $ n $, musíte si pozorne prečítať vyhlásenie o probléme. To znamená, že najprv musíme vypočítať, koľko zaplatil za tri roky, tj $ n \u003d $ 3, a potom znova vykonať rovnaké akcie, ale vypočítať platby za dva roky. Napíšeme rovnicu pre prípad, keď je platba zaplatená do troch rokov:

Vyriešme túto rovnicu. Najprv nájdeme výraz $ ((1,2) ^ (3)) $:

\\ [\\ begin (zarovnanie) & ((1,2) ^ (3)) \u003d 1,2 \\ cdot ((1,2) ^ (2)) \\\\ & ((1,2) ^ (3)) \u003d 1,44 \\ cdot 1,2 \\\\ & ((1,2) ^ (3)) \u003d 1,728 \\\\\\ end (zarovnanie) \\]

Prepíšeme náš výraz:

\\ [\\ begin (zarovnanie) & 4004000 \\ cdot 1.728 \u003d x \\ cdot \\ frac (1.728-1) (0.2) \\\\ & 4004000 \\ cdot \\ frac (1728) (1000) \u003d x \\ cdot \\ frac (728) ) (200) |: \\ frac (728) (200) \\\\ & x \u003d \\ frac (4004 \\ cdot 1728 \\ cdot 200) (728) \\\\ & x \u003d \\ frac (4004 \\ cdot 216 \\ cdot 200) ( 91) \\\\ & x \u003d 44 \\ cdot 216 \\ cdot 200 \\\\ & x \u003d 8800 \\ cdot 216 \\\\ & x \u003d 1900800 \\\\\\ end (zarovnanie) \\]

Celkovo bude naša platba 1 900 800 rubľov. Venujte však pozornosť: v tomto probléme sme museli nájsť nie mesačnú platbu, ale koľko by Stepan zaplatil celkom za tri rovnaké platby, to znamená za celé obdobie použitia úveru. Výsledná hodnota sa preto musí znova vynásobiť tromi. Poďme počítať:

Stepan celkovo zaplatí 5 702 400 rubľov za tri rovnaké platby. To mu bude stáť, keď použije pôžičku na tri roky.

Teraz sa pozrime na druhú situáciu, keď sa Stepan vytiahol, spojil a vyplatil celú pôžičku nie za tri, ale za dve rovnaké platby. Napíšeme všetky naše vzorce:

\\ [\\ begin (zarovnanie) a 4004000 \\ cdot ((1,2) ^ (2)) \u003d x \\ cdot \\ frac (((1,2) ^ (2)) - 1) (1,2-1) \\\\ & 4004000 \\ cdot \\ frac (144) (100) \u003d x \\ cdot \\ frac (11) (5) | \\ cdot \\ frac (5) (11) \\\\ & x \u003d \\ frac (40040 \\ cdot 144 \\ Ale to nie je všetko, pretože teraz sme započítali iba jednu z týchto dvoch platieb, takže celkom Stepan zaplatí presne dvakrát toľko:

{!LANG-f2f2b2e789104cf307b77e1f80a02e8c!}

Skvelé, teraz sa približujeme ku konečnej odpovedi. Ale venujte pozornosť: v žiadnom prípade sme nedostali konečnú odpoveď, pretože za tri roky platieb zaplatí Stepan 5 702 400 rubľov a za dva roky platieb zaplatí 5 241 600 rubľov, to znamená o niečo menej. O koľko menej? Ak chcete zistiť, musíte odpočítať druhú sumu platieb od prvej sumy platieb:

Celková konečná odpoveď je 460 800 rubľov. Presne koľko Stepan ušetrí, ak zaplatí nie tri roky, ale dva.

Ako vidíte, vzorec, ktorý spája úroky, podmienky a platby, výrazne zjednodušuje výpočty v porovnaní s klasickými tabuľkami a, bohužiaľ, z neznámeho dôvodu, väčšina problémových kolekcií stále používa tabuľky.

Osobitne by som chcel upriamiť vašu pozornosť na obdobie, za ktoré bol úver prijatý, a na výšku mesačných platieb. Faktom je, že toto spojenie nie je priamo viditeľné zo vzorcov, ktoré sme si zapísali, ale pochopenie je nevyhnutné pre rýchle a efektívne riešenie skutočných problémov v skúške. V skutočnosti je toto spojenie veľmi jednoduché: čím dlhšia je pôžička, tým menšia bude suma v mesačných splátkach, ale čím väčšia bude táto suma, akumuluje sa počas celého obdobia používania úveru. A naopak: čím kratšia je doba, tým väčšia je mesačná splátka, ale zároveň je konečný preplatok nižší a celkové náklady na pôžičku sú nižšie.

Všetky tieto výkazy budú samozrejme rovnaké iba pod podmienkou, že výška úveru a úroková sadzba sú v oboch prípadoch rovnaké. Všeobecne platí, že zatiaľ si túto skutočnosť nezabudnite - bude sa používať na riešenie najťažších problémov na túto tému, ale zatiaľ budeme analyzovať jednoduchší problém, kde stačí nájsť celkovú sumu pôvodnej pôžičky.

Príklad č. 3

Takže jedna úloha na pôžičku a čiastočná úväzok posledná úloha v dnešnom videonávode.

31. decembra 2014 si Vasily vzala pôžičku od banky vo výške 13% ročne. Schéma splácania úveru je nasledovná: 31. decembra každého nasledujúceho roku banka nazhromaždí úrok zo zvyšnej sumy dlhu (tj zvýši dlh o 13%), potom Vasily prevedie do banky 5 107 700 rubľov. Koľko Vasily vzal od banky, ak splatil dlh v dvoch rovnakých splátkach (na dva roky)?

Tento problém sa týka predovšetkým pôžičiek, preto si zapíšeme náš úžasný vzorec:

Pozrime sa, čo vieme z vyhlásenia problému. Po prvé, platba sa rovná 5 107 700 rubľov ročne. Po druhé, percentá, aby sme našli koeficient:

Okrem toho Vasily vzala podľa stavu problému úver od banky na dva roky, t. zaplatené v dvoch rovnakých splátkach, $ n \u003d 2 $. Nahraďme všetko a tiež upozorňujeme, že pôžička nie je pre nás známa, t. sumu, ktorú vzal, a označte ju $ x $. Dostaneme:

\[{{1,13}^{2}}=1,2769\]

Prepíšme našu rovnicu s ohľadom na túto skutočnosť:

\\ [\\ begin (zarovnanie) & x \\ cdot \\ frac (12769) (10000) \u003d 5107600 \\ cdot \\ frac (1.2769-1) (0,13) \\\\ & x \\ cdot \\ frac (12769) (10000) ) \u003d \\ frac (5107600 \\ cdot 2769) (1300) |: \\ frac (12769) (10000) \\\\ & x \u003d \\ frac (51076 \\ cdot 2769) (13) \\ cdot \\ frac (10000) (12769) \\ To je všetko, toto je konečná odpoveď. To bolo to množstvo, ktoré Vasily vzala na úver hneď na začiatku.

Teraz je jasné, prečo sa od tohto problému žiada, aby sme si vzali pôžičku iba na dva roky, pretože existujú dvojciferné percentá, konkrétne 13%, ktoré na námestí udávajú skôr „brutálne“ číslo. To však nie je limit - v nasledujúcej samostatnej lekcii zvážime zložitejšie problémy, v ktorých bude potrebné nájsť výpožičnú lehotu a sadzba bude jedna, dve alebo tri percentá.

Všeobecne sa naučte riešiť problémy s vkladmi a pôžičkami, pripravte sa na skúšky a zložte ich „vynikajúce“. A ak niečo nie je jasné v materiáloch dnešnej videonahrávky, potom neváhajte - napíšte, zavolajte a pokúsim sa vám pomôcť.

15. apríla sa plánuje pôžička vo výške 900 000 rubľov z banky na 11 mesiacov.

Podmienky pre jej vrátenie sú tieto:
- 1. deň každého mesiaca sa dlh zvyšuje o p% v porovnaní s koncom predchádzajúceho mesiaca;
- v 15. deň každého od 1. do 10. mesiaca musí byť dlh rovnakou sumou ako dlh k 15. dňu predchádzajúceho mesiaca;

- 15. dňa 10. mesiaca bol dlh 200 000 rubľov;
- do 15. dňa jedenásteho mesiaca musí byť dlh splatený v plnej výške.
Nájdite p, ak banke bolo vyplatených celkom 1021 tisíc rubľov.
15. apríla sa plánuje poskytnutie bankového úveru na 700 tisíc rubľov za (n + 1) mesiac.

- od 2. do 14. dňa každého mesiaca musí byť časť dlhu zaplatená v jednej platbe;
- 1. deň každého mesiaca sa dlh zvyšuje o p% v porovnaní s koncom predchádzajúceho mesiaca;

- v 15. deň od 1. do 9. mesiaca musí byť dlh rovnakou sumou ako dlh k 15. dňu predchádzajúceho mesiaca;
- 15. dňa deviateho mesiaca bol dlh 300 000 rubľov;
- do 15. dňa (n + 1) - mesiaca musí byť dlh úplne splatený.
Nájdite n, ak banke bolo vyplatených celkom 755 tisíc rubľov.
15. augusta sa plánuje pôžička vo výške 1 100 000 rubľov z banky na 31 mesiacov.

{!LANG-cb00c60fe3d5f7e9316f2f209cd440da!}
- 1. deň každého mesiaca sa dlh zvyšuje o p% v porovnaní s koncom predchádzajúceho mesiaca;
- 1. deň každého mesiaca sa dlh zvyšuje o 2% v porovnaní s koncom predchádzajúceho mesiaca;
- v 15. deň od 1. do 9. mesiaca musí byť dlh rovnakou sumou ako dlh k 15. dňu predchádzajúceho mesiaca;
- v 15. deň každého od 1. do 30. mesiaca musí byť dlh rovnakou sumou ako dlh k 15. dňu predchádzajúceho mesiaca;
- do 15. dňa 31. mesiaca musí byť dlh v plnej výške splatený.
Koľko tisíc rubľov predstavuje dlh k 15. dňu 30. mesiaca, ak banke bolo vyplatených celkom 1503 tisíc rubľov?

15. marca sa plánuje úver na určitú sumu zobrať na 11 mesiacov.
- 1. deň každého mesiaca sa dlh zvyšuje o p% v porovnaní s koncom predchádzajúceho mesiaca;
- v prvý deň každého mesiaca sa dlh zvyšuje o 1% v porovnaní s koncom predchádzajúceho mesiaca;
- v 15. deň od 1. do 9. mesiaca musí byť dlh rovnakou sumou ako dlh k 15. dňu predchádzajúceho mesiaca;
- v 15. deň každého mesiaca od 1. do 10. dňa musí byť dlh rovnakou sumou ako dlh k 15. dňu predchádzajúceho mesiaca;
- 15. dňa 10. mesiaca bude dlh 300 000 rubľov;

Koľko sa plánuje prijať úver, ak je celková suma platieb po jeho úplnom splatení 1 388 tisíc rubľov?

15. decembra sa plánuje poskytnutie bankového úveru na 11 mesiacov.
- 1. deň každého mesiaca sa dlh zvyšuje o p% v porovnaní s koncom predchádzajúceho mesiaca;


- k 15. dňu každého mesiaca od 1. do 10. dňa musí byť dlh o 80 tisíc rubľov nižší ako dlh k 15. číslu predchádzajúceho mesiaca;
- do 15. dňa 11. mesiaca musí byť úver úplne splatený.
Aký dlh bude v 15. deň desiateho mesiaca, ak je celková výška platieb po úplnom splatení úveru 1 198 000 rubľov?

15. decembra sa plánuje uzavrieť bankový úver vo výške 300 tisíc rubľov na 21 mesiacov. Podmienky vrátenia sú nasledujúce:

- od 2. do 14. dňa každého mesiaca je potrebné zaplatiť časť dlhu;
- v 15. deň každého mesiaca od 1. do 20. dňa musí byť dlh rovnakou sumou ako dlh k 15. dňu predchádzajúceho mesiaca;
- 15. dňa 20. mesiaca bude dlh 100 000 rubľov;

Nájdite celkovú sumu platieb po úplnom splatení úveru.

15. decembra sa plánuje poskytnutie bankového úveru na 1 000 000 rubľov na (n + 1) mesiace. Podmienky pre jej vrátenie sú tieto:
1. deň každého mesiaca sa dlh zvyšuje o r% v porovnaní s koncom predchádzajúceho mesiaca;
- od 2. do 14. dňa každého mesiaca sa musí zaplatiť časť dlhu;
- 15. deň každého mesiaca od 1. do 9. dlhu by mal byť o 40 tis. rubľov nižší ako dlh k 15. dňu predchádzajúceho mesiaca;
- 15. dňa deviateho mesiaca bude dlh 200 000 rubľov;
- do 15. (n + 1) - mesiaca musí byť úver úplne splatený.
Nájdite r, ak je známe, že celková výška platieb po úplnom splatení pôžičky bude 1378 tisíc rubľov.

15. decembra sa plánuje poskytnutie bankového úveru na 21 mesiacov. Podmienky vrátenia sú nasledujúce:
- 1. deň každého mesiaca sa dlh zvyšuje o 3% v porovnaní s koncom predchádzajúceho mesiaca;
- od 2. do 14. dňa každého mesiaca je potrebné zaplatiť časť dlhu;
- v 15. deň každého mesiaca od 1. do 20. dňa musí byť dlh o 30 tisíc rubľov nižší ako dlh k 15. dňu predchádzajúceho mesiaca;
- do 15. dňa 21. mesiaca musí byť úver úplne splatený.
Koľko sa plánuje prijať úver, ak je celková suma platieb po jeho úplnom splatení 1604 tisíc rubľov?

25. mája sa plánuje poskytnutie bankového úveru na 1,5 roka. Podmienky pre jej vrátenie sú tieto:
- 1. deň každého mesiaca sa dlh zvyšuje o 7% v porovnaní s koncom predchádzajúceho mesiaca;
- od 1. do 10. dňa každého mesiaca sa musí uhradiť časť dlhu;
- K 25. dňu každého mesiaca musí byť dlh rovnakou sumou ako dlh k 25. dňu predchádzajúceho mesiaca.
Koľko by sa malo banke zaplatiť, ak je priemerná mesačná splátka za celú dobu pôžičky 18 500 rubľov?

V nábytkárskom závode sa vyrábajú knižnice a príborníky. Výroba jednej knižnice zaberá 4/3 m 2 drevotriesky, 4/3 m 2 borovicových dosiek a 2/3 človekohodiny pracovného času. Výroba jednej bočnice vyžaduje 2 m 2 drevotriesky, 1,5 m 2 borovicových dosiek a 2 hodiny pracovného času. Zisk z predaja jednej knižnice je 500 rubľov a príborník je 1200 rubľov. Do jedného mesiaca má továreň k dispozícii: drevotrieskovú dosku 180 m ^ 2, 165 m ^ 2 borovicové dosky a 160 pracovných hodín pracovného času. Aký je maximálny očakávaný mesačný zisk?

Niektoré podniky vyrábajú produkty dvoch typov - A a B, pričom využívajú tri druhy zdrojov: M, N a K. Miera využitia zdrojov a ich rezervy sú uvedené v tabuľke.

Pri predaji výrobkov je potrebné určiť maximálny možný príjem podniku, ak ceny produktov A a B sú 1 500, resp. 900 rubľov za jednotku príslušného produktu. Uveďte svoju odpoveď v tisícoch rubľov.

Chlapci z troch jedenástich ročníkov si 8. marca kúpili pre dievčatá kvety. Ak má každé dievča v prvom ročníku 3 kvety, každé dievča v druhom ročníku má 5 kvetov a každé dievča v treťom ročníku má 7 kvetov, potom budete potrebovať najmenej 40 a najviac 50 kvetov.

Ak má každé dievča v prvom ročníku 5 kvetov, každé dievča v druhom ročníku má 7 kvetín a každé dievča v treťom ročníku má 3 kvety, potom budete potrebovať rovnaký počet kvetov, ktoré musíte dať každému dievčaťu z kvetov prvého stupňa 7, každé dievča v druhom ročníku bude mať 3 kvety a každému dievčaťu tretej triedy dajte 5 kvetov. Nájdite celkový počet dievčat v 11. ročníku, ak viete, že v 3. ročníku je viac dievčat ako v 2. ročníku.

Výška vkladu sa zvýšila v prvý deň každého mesiaca o 2% v porovnaní so sumou v prvý deň predchádzajúceho mesiaca. Podobne sa cena tehál zvýšila každý mesiac o 36%. Po odklade nákupu tehál 1. mája bola do banky vložená určitá suma. O koľko menej si v tomto prípade môžete kúpiť tehly 1. júla toho istého roku za celú sumu prijatú od banky spolu s úrokmi?

V rámci prípravy na Nový rok sa rozhodlo kúpiť niekoľko ozdôb vianočných stromčekov dvoch druhov za predpokladu, že náklady na rôzne druhy dekorácií by sa nemali líšiť o viac ako 2 rubľov. Ak si kúpite 7 šperkov prvého typu a 8 druhov druhého, budete musieť zaplatiť viac ako 165 rubľov. Ak si kúpite 8 ozdôb prvého typu a 7 druhých, budete musieť zaplatiť menej ako 165 rubľov. Nájdite náklady na každý typ dekorácie.

Chlapci z dvoch jedenástich ročníkov si 8. marca kúpili pre dievčatá kvety. Ak má každé dievča v prvom ročníku 3 kvety a každé dievča v druhom ročníku má 7 kvetov, vyžaduje sa menej ako 70 kvetov. Ak má každé dievča v prvom ročníku 7 kvetov a každé dievča v druhom ročníku - 3 kvety, vyžaduje sa viac ako 70 kvetov. Nájdite počet dievčat v ročníku 11, ak sa počet dievčat v triedach líši o menej ako tri.

Závod má montážne linky troch typov: A, B, C. Každý z nich vyrába dva druhy výrobkov. Počet výrobkov každého druhu vyrobených každou linkou je uvedený v tabuľke.

Podľa zmluvy sa má vyrobiť 1 030 kusov prvého typu a 181 kusov druhého druhu. Aký najmenší počet montážnych liniek je možné použiť?

Lietadlá troch druhov lietajú medzi mestami A a B, pre ktoré sú v tabuľke uvedené možnosti prepravy cestujúcich a nákladných kontajnerov

Podľa podmienok zmluvy sa má prepraviť 1 790 cestujúcich a 195 nákladných kontajnerov. Nájdite najmenší požadovaný počet lietadiel.

Ruda sa ťaží v dvoch baniach: v prvej bane 100 ton za deň, v druhej -220 ton za deň. Ťažená ruda sa spracováva v dvoch závodoch. Prvá je schopná spracovať najviac 200 ton rudy za deň a druhá - nie viac ako 250 ton rudy za deň. Náklady na prepravu jednej tony rudy z bane do závodu sú uvedené v tabuľke.

Nájdite najnižšie prepravné náklady.

Vkladateľ sa rozhodol umiestniť do banky 1 000 000 rubľov na obdobie 1 roka. Banka ponúka dve stratégie: prvou je účtovať 7% pa, ak je uložený celý vklad. Alebo sa navrhuje rozdeliť príspevok na tri časti. Potom bude menšia časť účtovaná 15%, stredná časť - 10% a väčšia časť bude účtovaná 5% ročne. Aký je najväčší zisk, ktorý môže vkladateľ dosiahnuť, ak by sa jeho väčšia časť mala líšiť od menšej časti najmenej o 100 tisíc rubľov, ale nie o viac ako 300 tisíc rubľov?

Dlžník vzal z banky sumu 3 691 000 rubľov po dobu 3 rokov pri 10% pa pod podmienkou, že druhá platba by bola dvakrát prvá a tretia trikrát prvá a platby sa uskutočnia potom, čo sa na zostatku úveru nahromadia úroky. Aká bola prvá suma platby?

16. novembra si Nikita požičala od banky milión rubľov. po dobu šiestich mesiacov. Podmienky splácania úveru sú nasledujúce:

28. dňa každého mesiaca sa dlh zvyšuje o 10% v porovnaní so 16. dňom aktuálneho mesiaca;

Od 1. do 10. dňa každého mesiaca musí byť splatená časť dlhu;

V prípade oneskorenia platieb (od 1 do 5 dní) sa účtujú ďalšie pokuty: za každý deň omeškania 1% zo sumy, ktorá sa musela zaplatiť v aktuálnom mesiaci;

16. deň každého mesiaca musí byť dlžníkom určitá suma v súlade s tabuľkou:

Zistite, koľko tisíc rubľov Nikita zaplatí banke nad rámec prijatej pôžičky, ak je známe, že uskutočnil platby 7. decembra, 12. januára, 10. februára, 9. marca, 1. apríla a 15. mája.

Larin 17) Ivan Petrovich dostal bankovú pôžičku v určitom percentuálnom vyjadrení ročne. O rok neskôr, aby splatil úver, sa vrátil banke 1/6 z celej sumy, ktorú do tej doby dlhoval banke. O rok neskôr Ivan Petrovich z dôvodu úplného splatenia úveru prispel do banky sumou, ktorá prevyšovala sumu prijatej pôžičky o 20%. Aký je ročný úrok z úveru v tejto banke?

V dvoch škatuliach sú ceruzky: v prvej červenej, v druhej - modrej, navyše bolo menej červenej ako modrej. Po prvé, 40% ceruziek z prvej škatule bolo premiestnených do druhej. Potom bolo 20% ceruziek, ktoré skončili v druhom balení, prevedených do prvého, pričom polovica prevedených ceruziek bola modrá. Potom bolo v prvom balení o 26 červených ceruziek viac ako v druhom a celkový počet ceruziek v druhom balení sa v porovnaní s originálom zvýšil o viac ako 5%. Nájdite celkový počet modrých ceruziek.

V júli si Victor plánuje požičať 2,5 milióna rubľov. Podmienky pre jej vrátenie sú tieto:

Každý januárový dlh sa v porovnaní s predchádzajúcim rokom zvyšuje o 20%;

Od februára do júna každého roka musí Victor zaplatiť časť dlhu.

Za aký minimálny počet rokov môže Victor uzavrieť pôžičku, aby ročné platby nepresahovali 760 tisíc rubľov?

Po koľkých celých rokoch bude mať Sergey na svojom účte najmenej 950 000 rubľov, ak má v úmysle vložiť na účet 260 000 rubľov každý rok, ak banka 31. decembra účtuje 10% z dostupnej sumy raz ročne.

Mitrofan chce požičať 1,7 milióna rubľov. Úver sa spláca raz ročne v rovnakých sumách (s výnimkou pravdepodobne poslednej) po nahromadení úroku. Úroková sadzba 10% ročne. Na aký minimálny počet rokov môže Mitrofan uzavrieť pôžičku, aby ročné platby nepresahovali 300 tisíc rubľov?

31. decembra 2016 Vasily uzavrela z banky pôžičku vo výške 20% ročne 5 560 000 rubľov. Schéma splácania úveru je nasledovná - 31. decembra každého nasledujúceho roku banka účtuje úroky zo zvyšného dlhu (tj zvyšuje dlh o 20%), potom Vasily prevedie do banky x rubľov. Aká by mala byť suma, ktorú má Vasily splatiť dlh v troch rovnakých splátkach (tj o tri roky)?

V auguste sa plánuje určitá výška bankového úveru. Podmienky pre jej vrátenie sú tieto:

Od februára do júla každého roka je potrebné zaplatiť časť dlhu rovnajúcu sa 1080 tisíc rubľov. Koľko tisíc rubľov bolo získaných z banky, ak je známe, že pôžička bola úplne splatená v troch rovnakých splátkach (tj o 3 roky)?

Dôchodkový fond vlastní cenné papiere, ktoré na konci roka t (t \u003d 1; 2; 3; ...) stoja [b] 10 tis. Rubľov. Na konci každého roka môže dôchodkový fond predávať cenné papiere a vkladať peniaze na bankový účet, zatiaľ čo na konci každého nasledujúceho roka sa suma na účte zvýši 1 + r krát. Dôchodkový fond chce na konci tohto roka predať cenné papiere, takže na konci dvadsiateho piateho roku je suma na jeho účte najvyššia. Výpočty ukázali, že na tento účel sa musia cenné papiere predávať striktne na konci jedenásteho roku. Pre aké pozitívne hodnoty r je to možné?

Vadim je vlastníkom dvoch závodov v rôznych mestách. Továrne vyrábajú presne ten istý tovar pomocou rovnakých technológií. Ak pracovníci v jednej z tovární pracujú celkom t ^ 2 hodiny týždenne, potom v tom týždni vyrábajú t jednotky tovaru. Za každú hodinu práce v závode v prvom meste zaplatí Vadim pracovníkovi 500 rubľov a v závode v druhom meste 300 rubľov. Vadim je pripravený prideliť 1 200 000 rubľov týždenne platiacim pracovníkom. Aký je najväčší počet kusov, ktoré je možné vyrobiť za týždeň v týchto dvoch továrňach?

V júli 2016 Inga plánuje uzavrieť pôžičku na šesť rokov vo výške 4,2 milióna rubľov. Podmienky pre jej vrátenie sú tieto:

V júli 2017, 2018, 2019 a 2020 zostáva dlh 4,2 milióna rubľov;

Výplaty v rokoch 2021 a 2022 sú rovnaké;

Do júla 2022 bude dlh splatený v plnej výške.

Koľko miliónov rubľov bude posledná platba vyššia ako prvá?

V júli 2016 plánuje Timur na štyri roky získať bankovú pôžičku vo výške miliónov miliónov rubľov, pričom S je celé číslo. Podmienky pre jej vrátenie sú tieto:

Ku koncu predchádzajúceho roka sa každý január zvyšuje o 15%;

Platba sa musí uskutočniť raz ročne od februára do júna;

V júli musí byť každý rok súčasťou pôžičky dlh podľa nasledujúcej tabuľky:

Nájdite najväčšiu hodnotu S, pri ktorej bude celková výška platieb Timuru nižšia ako 30 miliónov rubľov.

V júli 2020 sa plánuje poskytnutie bankového úveru vo výške 400 000 rubľov. Podmienky pre jej vrátenie sú tieto:

Každý január sa dlh zvyšuje o r% v porovnaní s koncom predchádzajúceho roka;

Nájdite číslo r, ak je známe, že pôžička bola úplne splatená za dva roky, pričom v prvom roku bolo prevedených 330 000 rubľov a v druhom roku 121 000 rubľov.

V júli 2020 sa plánuje určitá výška bankového úveru. Podmienky pre jej vrátenie sú tieto:

Ku koncu predchádzajúceho roka sa každý január zvyšuje o 20%;

Od februára do júna každého roka musíte zaplatiť časť dlhu v jednej platbe

Koľko rubľov sa odobralo z banky, ak je známe, že pôžička bola úplne splatená v troch rovnakých splátkach (tj po dobu 3 rokov) a suma platieb presahuje sumu získanú z banky o 77 200 rubľov?

V júli sa plánuje určitá výška bankového úveru. Podmienky pre jej vrátenie sú tieto:

Každý január sa dlh zvyšuje o r% v porovnaní s koncom predchádzajúceho roka;

Od februára do júna každého roka musí byť splatená časť dlhu

Nájdite r, ak viete, že ak budete platiť 777 600 rubľov, potom bude pôžička splatená do 4 rokov a ak budete platiť 1 317 600 rubľov ročne, potom bude pôžička v plnej výške splatná o 2 roky?

V júli sa plánuje na určité obdobie získať bankový úver vo výške 18 miliónov rubľov (celé číslo). Podmienky pre jej vrátenie sú tieto:
- každý január sa dlh zvyšuje o 10% v porovnaní s koncom predchádzajúceho roka;


Koľko rokov bola pôžička poskytnutá, ak je známe, že celková výška platieb po jej splatení sa rovnala 27 miliónom rubľov?

V júli sa plánuje na určité obdobie získať bankový úver vo výške 9 miliónov rubľov (celé číslo). Podmienky pre jej vrátenie sú tieto:

Ku koncu predchádzajúceho roka sa každý január zvyšuje o 20%;
- od februára do júna každého roka je potrebné zaplatiť časť dlhu;
- v júli každého roka musí byť dlh rovnakou sumou ako dlh v júli predchádzajúceho roka.

Aká bude celková suma platieb po úplnom splatení pôžičky, ak je najväčšia ročná platba 3,6 milióna rubľov?

V júli 2026 sa plánuje uzatvorenie bankového úveru na tri roky vo výške miliónov miliónov rubľov, kde S je celé číslo. Podmienky pre jej vrátenie sú tieto:

Ku koncu minulého roka sa každý január zvyšuje o 20%

Od februára do júna každého roka musí byť časť dlhu zaplatená v jednej platbe

V júli musí každý rok tvoriť súčasť pôžičky podľa nasledujúcej tabuľky

Nájdite najväčšiu hodnotu S, pri ktorej bude každá z platieb nižšia ako 5 miliónov rubľov.

Dôchodkový fond vlastní cenné papiere, ktoré stoja t ^ 2 rubľov. na konci každého roka t (t \u003d 1; 2 ...) na konci každého roka môže dôchodkový fond predávať cenné papiere a vkladať peniaze na bankový účet, zatiaľ čo na konci každého nasledujúceho roka sa suma na účte zvýši o (1+ r) čas. Dôchodkový fond chce na konci tohto roka predať cenné papiere tak, aby na konci dvadsiateho piateho roku bola najväčšia suma na jeho účte, pričom výpočty ukázali, že na tento účel musia byť cenné papiere predané striktne na konci dvadsiateho prvého roka. Pre aké pozitívne r je to možné?

Zoologická záhrada distribuuje 111 kg. mäso medzi líškami, leopardmi a levmi. Každá líška má nárok na 2 kg. mäso, leopard - 14 kg., lev 21 kg. Je známe, že každý lev má 230 návštevníkov každý deň, každý leopard má 160 a každá líška má 20. Koľko líšky, leopardy a levy by malo byť v zoo, aby tieto zvieratá mali najväčší denný počet návštevníkov?

Na stretnutí akcionárov sa rozhodlo o zvýšení zisku spoločnosti rozšírením sortimentu. Ekonomická analýza to ukázala

1) ďalší príjem pripadajúci na každý nový typ produktu sa bude rovnať 70 miliónom rubľov. v roku;

2) dodatočné náklady na vývoj jedného nového typu budú predstavovať 11 miliónov rubľov. ročne a vývoj každého nasledujúceho typu si bude vyžadovať 7 miliónov rubľov. viac výdavkov ročne ako vývoj predchádzajúcich. Nájdite hodnotu maximálneho možného zvýšenia zisku.

Občan vložil do banky na 4 roky 1 milión rubľov. Na konci každého roka sa z podkladovej sumy účtuje 10%. Rozhodol sa vybrať rovnakú sumu peňazí na konci každého z prvých 3 rokov (po nahromadení úroku). Táto suma by mala byť taká, aby po 4 rokoch od úrokov získaných za štvrtý rok mal na svojom účte najmenej 1 200 000 rubľov. Aká je maximálna suma, ktorú môže občan vybrať. Zaokrúhlite odpoveď na najbližších tisíc.

Sasha a Pasha dali každý 100 000 rubľov. banke vo výške 10% pa po dobu troch rokov. V rovnakom čase Pasha stiahol o rok neskôr tisíc rubľov. (n je celé číslo) ao rok neskôr opäť vykázalo tisícky rubľov. na váš účet. Pri najmenšej hodnote n za tri roky bude rozdiel medzi sumami na účte Sasha a Pasha predstavovať najmenej 3 000 rubľov.

Plánuje sa poskytnúť pôžičku na celý počet miliónov rubľov na 5 rokov. V polovici každého roka úveru sa dlh dlžníka v porovnaní so začiatkom roka zvyšuje o 10%. Na konci prvého, druhého a tretieho roka dlžník platí iba úrok z úveru, pričom sa dlh rovná pôvodnému. Na konci 4. a 5. roka dlžník zaplatí rovnaké sumy a splatí celý dlh v plnej výške. Nájdite najväčšiu veľkosť pôžičky, v ktorej bude celková výška platieb dlžníka nižšia ako 6 miliónov rubľov.

Farmár má dve polia, z ktorých každé má rozlohu 10 hektárov. Každé pole môže pestovať zemiaky a repu a tieto polia sa môžu rozdeliť medzi tieto plodiny v akomkoľvek pomere. Výťažok zemiakov v prvom poli je 300 c / ha av druhom 200 c / ha. Úroda cukrovej repy v prvom poli je 200 c / ha av druhom - 300 c / ha.

Farmár môže predávať zemiaky za 10 000 rubľov. percent a cukrovej repy - za cenu 18 000 rubľov. na centner. Aký je najväčší príjem, ktorý môže poľnohospodár zarobiť?

Na Silvestra Santa Clauses rozložila rovnaké množstvo cukroviniek v darčekových taškách a tieto tašky sa vložili do tašiek, 2 vrecká do jednej tašky. Tie isté cukríky mohli vložiť do tašiek tak, aby každá z nich mala o 5 sladkosti menej ako predtým, ale potom by každé vrece obsahovalo 3 balenia a vrecia by vyžadovali 2 menšie vrecká. Aký je najväčší počet sladkostí, ktoré by mohol Santa Claus rozložiť?

Prvé auto jazdilo z bodu A do bodu B rýchlosťou 80 km / h a po chvíli konštantnou rýchlosťou - druhé. Po zastavení na 20 minút v bode B sa druhé auto vrátilo rovnakou rýchlosťou. Po 48 km sa stretol s prvým prichádzajúcim autom a bol 120 km od B v okamihu, keď prvé auto dorazilo do bodu B. Nájdite vzdialenosť od A do miesta prvého stretnutia, ak je vzdialenosť medzi bodmi A a B 480 km.

Obchod dostal tovar triedy I a II v celkovom objeme 4,5 milióna rubľov. Ak sa všetok tovar predáva za cenu triedy II, straty budú predstavovať 0,5 milióna rubľov, a ak sa všetok tovar predáva za cenu triedy I, získa sa zisk 0,3 milióna rubľov. Koľko bol zakúpený tovar triedy I a II osobitne?

Dve bane vyrábajú hliník a nikel. Prvá baňa má 80 pracovníkov, z ktorých každý je ochotný pracovať 5 hodín denne. Súčasne jeden pracovník extrahuje 1 kg hliníka alebo 2 kg niklu za hodinu. Druhá baňa má 200 pracovníkov, z ktorých každý je ochotný pracovať 5 hodín denne. Súčasne jeden pracovník vyrába 2 kg hliníka alebo 1 kg niklu za hodinu.

Obe bane dodávajú vyťažený kov do závodu, kde sa vyrába zliatina hliníka a niklu pre potreby priemyslu, v ktorom 2 kg hliníka predstavuje 1 kg niklu. Súčasne sa míny medzi sebou dohodli na ťažbe kovov, takže závod dokáže produkovať najväčšie množstvo zliatiny. Koľko kilogramov zliatiny za takýchto podmienok môže rastlina produkovať denne?

Niektoré podniky prinášajú straty vo výške 300 miliónov rubľov. v roku. V záujme dosiahnutia ziskovosti sa navrhlo rozšírenie sortimentu. Výpočty ukázali, že dodatočný príjem pre každý nový typ produktu bude predstavovať 84 miliónov rubľov. ročne a dodatočné náklady sa rovnajú 5 miliónom rubľov. ročne pri vývoji jedného nového druhu, ale vývoj každého nasledujúceho bude vyžadovať 5 miliónov rubľov. viac výdavkov ročne ako vývoj predchádzajúcich. Aký je minimálny počet druhov nových výrobkov, ktoré je potrebné zvládnuť, aby sa podnik stal ziskovým? Aký najväčší ročný zisk môže spoločnosť dosiahnuť zvýšením sortimentu?

Náklady na vývoj elektronickej verzie učebnice
niektoré vydanie je 800 tisíc rubľov. výdavky
na výrobu x tisíc takýchto elektronických učebníc
v tomto vydavateľstve sa rovnajú (x ^ 2 + 6x + 22100) tisíc rubľov
v roku. Ak sa učebnice predávajú za triešť. pre jednotku,
potom zisk vydavateľa za jeden rok bude ax (x ^ 2 + 6x + 22100).
Vydavateľstvo vydá učebnice v takom množstve,
takže zisk je najväčší. Pri akej najmenšej hodnote a
Vypracovanie učebnice sa vyplatí najviac o dva roky?

16. novembra si dvojičky Sasha a Pasha vzali bankovú pôžičku, z ktorých každá mala 500 tisíc rubľov. každý na obdobie štyroch mesiacov. Podmienky splácania úveru sú nasledujúce:

28. dňa každého mesiaca sa dlh zvyšuje o 10% v porovnaní so 16. dňom aktuálneho mesiaca;

Od 1. do 15. dňa každého mesiaca musí byť splatená časť dlhu; K 16. dňu každého mesiaca by mal byť dlh určitou sumou v súlade s tabuľkou navrhnutou pre každý z nich:

Ktorý z bratov zaplatí banke menej za štyri mesiace? Koľko rubľov?

1. marca 2016 Valery vložil do banky 100 tisíc rubľov. na 10% ročne po dobu 4 rokov. Za dva roky plánuje z jeho účtu stiahnuť n tisíc rubľov. (n je celé číslo) takým spôsobom, že do 1. marca 2020 má na svojom účte najmenej 130 000 rubľov. Aká je najväčšia suma, ktorú môže Valery vybrať zo svojho účtu 1. marca 2018?

Dvaja chodci kráčajú k sebe: jeden z A do B a druhý z B do A. Odišli súčasne, a keď prvý prešiel polovicou cesty, druhý musel prejsť ďalších 1,5 hodiny, a keď druhý prešiel polovicou cesty, potom prvý stále zostáva 45 minút. Koľko minút skôr dokončí prvý chodec svoju cestu ako druhá?

Začiatkom januára 2017 sa plánuje na 4 roky banková pôžička na milióny rubľov, kde S je celé číslo. Podmienky pre jej vrátenie sú tieto:

V júli sa dlh zvyšuje v porovnaní so začiatkom tohto roka o 10%;
- od augusta do decembra každého roka musí byť splatená časť dlhu;
- v januári každého roka musí byť dlh súčasťou úveru v súlade s touto tabuľkou:

Nájdite najväčšiu hodnotu S, pri ktorej rozdiel medzi najväčšou a najmenšou platbou nepresiahne 2 milióny rubľov.

Banka plánuje na konci každého roka účtovať 12% pa z klasického vkladu a z bonusového vkladu - zvýšiť sumu vkladu o 7% v prvom roku ao rovnaké celé číslo v nasledujúcich rokoch.

Nájdite najmenšiu hodnotu n, pri ktorej bude po 4 rokoch skladovania vklad „Bonus“ rentabilnejší ako vklad „Klasický“ s rovnakými sumami počiatočných príspevkov.

V máji 2017 sa plánuje pôžička od banky na šesť rokov vo výške S miliónov rubľov. Podmienky pre jej vrátenie sú tieto:

Každý december každého roka sa dlh zvyšuje o 10%;
- každý rok od januára do apríla je potrebné zaplatiť časť dlhu;
- v máji 2018, 2019 a 2020 zostáva dlh rovný miliónom rubľov;
- platby v rokoch 2021, 2022 a 2023 sú rovnaké;
- do mája 2023 bude dlh splatený v plnej výške.

Nájdite najmenšie celé číslo S, ktorého celková výška platieb nepresahuje 13 miliónov rubľov.

46 ľudí vstúpilo do prvého kurzu v odbore „Vybavenie a stroje“: 34 chlapcov a 12 dievčat. Sú rozdelené do dvoch skupín po 22 a 24 ľuďoch a každá skupina musí mať aspoň jedno dievča. Aké by malo byť rozdelenie medzi skupiny tak, aby súčet čísel rovnajúci sa percentuálnemu podielu dievčat v prvej a druhej skupine bol najväčší?

Lev si vzal bankový úver na obdobie 40 mesiacov. Podľa dohody musí Leo splatiť pôžičku v mesačných splátkach. Na konci každého mesiaca sa p% tejto sumy pripočíta k zvyšnej sume dlhu a následne sa vyplatí Leo.

Mesačné platby sa vyberajú tak, aby sa dlh rovnomerne znižoval.

Je známe, že najväčšia platba spoločnosti Leo bola 25-krát nižšia ako pôvodná výška dlhu. Nájsť str.

18. decembra 2015 Andrey zobral z banky 85 400 rubľov za pôžičku vo výške 13,5% ročne. Schéma splácania úveru je nasledovná: 18. decembra každého nasledujúceho roku banka účtuje úroky zo zvyšného dlhu a potom Andrey prevedie do banky X rubľov. Aká by mala byť suma X, aby Andrey zaplatil celý dlh v dvoch rovnakých splátkach?

Ivan si chce požičať 1 milión rubľov. Úver sa spláca raz ročne v rovnakých sumách (s výnimkou pravdepodobne poslednej) po nahromadení úroku. Úroková sadzba 10% ročne. Na aký minimálny počet rokov si Ivan môže vziať pôžičku, aby ročné platby nepresiahli 250 tisíc rubľov?

1. februára 2016 si Andrey Petrovich požičal od banky 1,6 milióna rubľov. Schéma splácania úveru je nasledovná: 1. deň každého nasledujúceho mesiaca banka účtuje 1% zostatku dlhu, potom Andrey Petrovich prevedie platbu banke. Na aký minimálny počet mesiacov musí Andrei Petrovich vziať pôžičku, aby mesačné platby nepresiahli 350 tisíc rubľov?

12. novembra 2015 Dmitrij uzavrel s úverom 1 803 050 rubľov z 19% per annum. Schéma splácania úveru je nasledovná: 12. novembra každého nasledujúceho roku banka účtuje úroky zo zvyšného dlhu a potom Dmitry prevedie do banky X rubľov. Aká by mala byť suma X, za ktorú Dmitry zaplatí celý dlh v troch rovnakých splátkach?

Na dvoch vzájomne kolmých diaľniciach v smere ich križovatky sa začínajú súčasne pohybovať dve autá: jedno pri rýchlosti 80 km / h, druhé pri rýchlosti 60 km / h. V počiatočnom okamihu je každé vozidlo umiestnené vo vzdialenosti 100 km od križovatky. Určte čas po začiatku pohybu, po ktorom bude vzdialenosť medzi automobilmi najmenšia. Aká je táto vzdialenosť?

Arkady, Semyon, Efim a Boris založili spoločnosť so základným imaním 200 000 rubľov. Arkady prispel 14% zo základného imania, Semyon - 42 000 rubľov, Efim - 12% zo základného imania a Boris zvyšnou časťou základného imania. Zakladatelia sa dohodli na rozdelení ročného zisku v pomere k príspevku do základného imania. Aká suma zisku 500 000 rubľov je spôsobená Borisom? Odpovedzte v rubľoch.

V dvoch regiónoch je 250 pracovníkov, z ktorých každý je pripravený 5 hodín denne pracovať na ťažbe hliníka alebo niklu. V prvej oblasti jeden pracovník extrahuje 0,2 kg hliníka alebo 0,1 kg niklu za hodinu. V druhej oblasti vyžaduje ťažba x kg hliníka denne x ^ 2 pracovné hodiny, zatiaľ čo ťažba y ^ 2 niklu za deň vyžaduje y ^ 2 pracovné hodiny.

V dvoch regiónoch je 50 pracovníkov, z ktorých každý je pripravený 10 hodín denne pracovať pri ťažbe hliníka alebo niklu. V prvej oblasti vyprodukuje jeden pracovník 0,2 kg hliníka alebo 0,1 kg niklu za hodinu. V druhej oblasti vyžaduje ťažba x kg hliníka za deň x ^ 2 človekohodiny práce, zatiaľ čo ťažba kilogramu niklu za deň vyžaduje y2 2 človekohodiny práce.

Obidva regióny dodávajú vyťažený kov do závodu, kde sa vyrába zliatina hliníka a niklu pre potreby priemyslu, kde 1 kg hliníka predstavuje 2 kg niklu. Regióny sa zároveň dohodli na ťažbe kovov tak, aby závod mohol vyrábať najväčšie množstvo zliatiny. Koľko kilogramov zliatiny za takýchto podmienok môže rastlina produkovať denne?

Timofey si chce požičať 1,1 milióna rubľov. Úver sa spláca raz ročne v rovnakých sumách (s výnimkou pravdepodobne poslednej) po nahromadení úroku. Úroková sadzba 10% ročne. Na aký minimálny počet rokov môže Timofey vziať pôžičku, aby ročné platby nepresahovali 270 tisíc rubľov?

Galina si požičala 12 miliónov rubľov na obdobie 24 mesiacov. Podľa dohody musí Galina vrátiť časť peňazí banke na konci každého mesiaca. Celková výška dlhu sa každý mesiac zvyšuje o 3% a potom klesá o sumu, ktorú banka Galina vyplatila na konci mesiaca. Sumy zaplatené spoločnosťou Galina sa vyberajú tak, aby výška dlhu rovnomerne klesala, to znamená o rovnakú sumu každý mesiac. Koľko ďalších rubľov sa Galina vráti do banky počas prvého roka poskytovania úverov v porovnaní s druhým rokom?

15. januára sa plánuje poskytnutie bankového úveru na 15 mesiacov. Podmienky pre jej vrátenie sú tieto:
- 1. deň každého mesiaca sa dlh zvyšuje o 3% v porovnaní s koncom predchádzajúceho mesiaca;
- od 2. do 14. dňa každého mesiaca je potrebné zaplatiť časť dlhu;

Je známe, že ôsma platba bola 99,2 tisíc rubľov. Koľko by sa malo banke vrátiť počas celej doby pôžičky?

31. decembra 2014 Oleg vzal pôžičku od banky s určitou úrokovou sadzbou ročne. Schéma splácania úveru je nasledovná - 31. decembra každého nasledujúceho roku banka účtuje úroky zo zvyšného dlhu (tj zvyšuje dlh o%), potom Oleg prevedie ďalšiu tranžu. Ak zaplatí 328 050 rubľov každý rok, splatí dlh za 4 roky. Ak pre 587 250 rubľov, potom po dobu 2 rokov. Nájsť.

Dva rovnaké bazény sa začali súčasne plniť vodou. Prvý bazén prijíma o 30 m 3 viac vody za hodinu ako druhý. V určitom okamihu sa ukázalo, že obidva bazény spolu tvoria toľko vody ako objem každého z nich. Potom sa po 2 hodinách a 40 minútach naplnil prvý bazén a po ďalších 3 hodinách, 20 minútach, druhý. Koľko vody stekalo do druhého bazénu za hodinu? Ako dlho trvalo naplnenie druhého bazéna?

1. deň každého mesiaca sa dlh zvyšuje o 2% v porovnaní s predchádzajúcim mesiacom;

Od 2. do 14. dňa každého mesiaca musí byť splatená časť dlhu;

V 15. deň každého mesiaca musí byť dlh rovnakou sumou ako dlh v 15. deň predchádzajúceho mesiaca.

Koľko percent z výšky úveru je celková suma peňazí, ktoré je potrebné zaplatiť banke počas celého obdobia pôžičky?

20. decembra Valery uzavrela bankový úver vo výške 500 tisíc rubľov. na obdobie piatich mesiacov. Podmienky splácania úveru sú nasledujúce:

Piaty deň každého mesiaca sa dlh zvyšuje v porovnaní s predchádzajúcim mesiacom o celé číslo n;

Od 6. do 19. dňa každého mesiaca musí byť splatená časť dlhu;

20. deň každého mesiaca by mal byť dlh v súlade s tabuľkou určitá suma:

Nájdite najmenšiu n, pre ktorú bude výška platby nad úver (platby úrokov) vyššia ako 200 tisíc rubľov.

Každý z troch automatov s rôznou kapacitou musí vyrobiť 800 dielov. Prvý stroj bol uvedený na trh po 20 minútach - druhý a po ďalších 35 minútach - tretí. Každý z nich pracoval bez prerušenia alebo prerušenia a v priebehu práce bol okamih, keď každý stroj dokončil tú istú časť úlohy. Koľko minút pred druhým strojom fungovalo tretie zariadenie, ak prvý stroj zvládol úlohu 1 hodinu 28 minút po treťom?

V dvoch regiónoch je 90 pracovníkov, z ktorých každý je pripravený 5 hodín denne pracovať na ťažbe hliníka alebo niklu. V prvej oblasti jeden pracovník extrahuje 0,3 kg hliníka alebo 0,1 kg niklu za hodinu. V druhej oblasti vyžaduje ťažba x kg hliníka za deň x ^ 2 človeko-hodiny práce, zatiaľ čo ťažba y kg niklu za deň si vyžaduje ^ 2 človek-hodiny práce.

Pre potreby priemyslu sa môže použiť buď hliník alebo nikel a 1 kg hliníka sa môže nahradiť 1 kg niklu. Aká je najväčšia hmotnosť kovov, ktoré sa dajú v oboch regiónoch ťažiť celkom pre potreby priemyslu?

V júli 2016 sa plánuje uzatvorenie bankového úveru na tri roky vo výške miliónov miliónov rubľov, kde S je celé číslo. Podmienky pre jej vrátenie sú tieto:

Ku koncu predchádzajúceho roka sa každý január zvyšuje o 25%;
- od februára do júna každého roka je potrebné zaplatiť časť dlhu v jednej platbe;
- V júli každého roka musí byť dlh súčasťou úveru v súlade s nasledujúcou tabuľkou.

Nájdite najmenšiu hodnotu S, pre ktorú bude každá z platieb vyššia ako 5 miliónov rubľov

1. augusta 2016 spoločnosť Valery otvorila v banke účet „Top Up“ na obdobie štyroch rokov na úrovni 10% ročne, pričom investovala 100 tisíc rubľov.

1. augusta 2017 a 1. augusta 2019 plánuje na účet nahlásiť tisícky rubľov. Nájdite najmenšie celé číslo n, pre ktoré bude mať Valery na svojom účte do 1. augusta 2020 najmenej 200 000 rubľov.

15. januára sa plánuje pôžička od banky na šesť mesiacov vo výške 1 milión rubľov. Podmienky pre jej vrátenie sú tieto:

1. deň každého mesiaca sa dlh zvyšuje o g percent v porovnaní s koncom predchádzajúceho mesiaca, kde g je celé číslo;

Od 2. do 14. dňa každého mesiaca musí byť splatená časť dlhu;

K 15. dňu každého mesiaca musí byť dlžníkom určitá suma v súlade s nasledujúcou tabuľkou

Nájdite najväčšiu hodnotu r, pre ktorú bude celková výška platieb nižšia ako 1,2 milióna rubľov.

V júli bola pôžička prijatá na 8,8 milióna rubľov na niekoľko rokov. Na začiatku každého nasledujúceho roka sa zostatok dlhu zvyšuje o 25% v porovnaní s koncom predchádzajúceho roka. Do 1. júla každého roka musí klient splatiť časť dlhu takým spôsobom, aby od 1. júla každý rok klesal o rovnakú sumu. Posledná platba je 1 milión rubľov. Nájdite celkovú sumu vyplatenú banke.

V júli sa plánuje na určité obdobie získať pôžičku od banky vo výške 14 miliónov rubľov (celé číslo). Podmienky pre jej vrátenie sú tieto:

Ku koncu predchádzajúceho roka sa každý január zvyšuje o 10%;
- od februára do júna každého roka je potrebné zaplatiť časť dlhu;
- v júli každého roka musí byť dlh rovnakou sumou ako dlh v júli predchádzajúceho roka

Aká bude celková suma platieb po úplnom splatení úveru, ak je najmenšia ročná platba 3,85 milióna rubľov?

Začiatkom roka si spoločnosť Zhilstroyservice vyberie banku, ktorá dostane pôžičku od niekoľkých bánk, ktoré požičiavajú pri rôznych úrokových sadzbách. Firma má v úmysle nakladať s prijatým úverom nasledovne: 75% úveru bude smerovať na výstavbu chát a zvyšných 25% na poskytovanie realitných služieb obyvateľstvu. Prvý projekt môže priniesť zisk vo výške 36% až 44% ročne a druhý - od 20% do 24% ročne. Na konci roka musí spoločnosť splatiť pôžičku banke s úrokmi a zároveň očakáva čistý zisk z týchto činností vo výške najmenej 13%, ale najviac 21% ročne z celkovej prijatej pôžičky. Aké by mali byť najnižšie a najvyššie úrokové sadzby z úverov vybraných bánk, aby sa spoločnosť mohla zaručiť nad úrovňou zisku?

Dňa 15. januára 2012 banka vydala pôžičku vo výške 1 milión rubľov. Podmienky pre jeho návrat boli nasledujúce:
- 1. januára každého roka sa dlh zvyšuje o% v porovnaní s koncom predchádzajúceho roka;
- splácanie časti dlhu sa uskutoční v januári každého roka po vypočítaní úroku.
Úver bol splatený za dva roky av prvom roku bola prevedená suma 600 tisíc rubľov a druhýkrát - 550 tisíc rubľov.
Nájsť.

Výstavba nového závodu stojí 78 miliónov rubľov. Výrobné náklady x tis. výrobky v takomto závode sa rovnajú 0,5x2 + 2x + 6 miliónov rubľov ročne. Ak sa výrobky závodu predávajú za cenu p tisíc rubľov za jednotku, zisk firmy (v miliónoch rubľov) za jeden rok bude (px- (0,5x² + 2x + 6)). Pri výstavbe závodu bude firma vyrábať v takom množstve, aby zisky boli najväčšie. Pri akej najmenšej hodnote p sa výstavba závodu vyplatí najviac o 3 roky?

Začiatkom roku 2001 získal Alexey zabezpečenie za 25 000 rubľov. Na konci každého roka sa cena papiera zvyšuje o 3 000 rubľov. Na začiatku každého roka môže Alexey papier predať a výnosy vložiť na bankový účet. Každý rok sa suma na účte zvýši o 10%. Na začiatku toho roku, v ktorom by mal Alexey cenný papier predať, aby pätnásť rokov po zakúpení tohto cenného papiera bola suma na bankovom účte najvyššia?

Každá z týchto dvoch rastlín zamestnáva 1800 ľudí. V prvom mlyne jeden pracovník vyrobí 1 diel A alebo 2 diely B na jednu smenu. V druhom mlyne sú na výrobu t dielov (obidva A a B) potrebné t 2 pracovné smeny.

Každá z týchto dvoch rastlín zamestnáva 200 ľudí. V prvom mlyne jeden pracovník vyrobí 1 diel A alebo 3 diely B na jednu smenu. V druhom mlyne sú na výrobu t dielov (obidva A a B) potrebné t 2 man-smeny.

Obidve tieto zariadenia dodávajú časti do závodu, z ktorého je výrobok zostavený, na výrobu ktorých je potrebných 1 diel A a 1 diel B. Súčasne sa zariadenia medzi sebou dohodnú na výrobe častí tak, aby bolo možné zostaviť čo najväčší počet výrobkov. Koľko produktov môže spoločnosť za takýchto podmienok zostaviť za smenu?

Časti A a B sa vyrábajú v každej z týchto dvoch závodov: Prvá továreň zamestnáva 40 ľudí a jeden pracovník zaraďuje 15 dielov A alebo 5 dielov B na smenu. V druhom závode pracuje 160 ľudí a jeden pracovník robí 5 dielov A alebo 15 na smenu. podrobnosti V.

Obidve tieto zariadenia dodávajú časti do závodu, z ktorého je výrobok zostavený, na výrobu ktorých sú potrebné 2 časti A a 1 časť B. Súčasne sa zariadenia navzájom dohodnú na výrobe častí tak, aby bolo možné zostaviť čo najväčší počet výrobkov. Koľko produktov môže spoločnosť za takýchto podmienok zostaviť za smenu?

Na výrobu určitého produktu B obsahujúceho 40% alkoholu môže Aleksey kúpiť suroviny od dvoch dodávateľov A a B. Dodávateľ A ponúka 90% roztok alkoholu v 1 000 litrových kanistroch za cenu 100 tisíc rubľov. pre nádobu. Dodávateľ B ponúka 80% alkoholový roztok v 2000 l plechovkách za cenu 160 tisíc rubľov. pre nádobu. Produkt B získaný počas výroby sa plní do fliaš s obsahom 0,5 litra. Aká je najmenšia suma, ktorú by mal Aleksey minúť za suroviny, ak plánuje vyrobiť presne 60 000 fliaš s produktom B?

1. marca 2016 Ivan Ľvovič vložil 20 000 rubľov na bankový vklad na 1 rok s mesačným úrokom a kapitalizáciou na 21% ročne. To znamená, že v prvý deň každého mesiaca sa výška vkladu zvyšuje o rovnakú výšku úroku, vypočítanú tak, že za 12 mesiacov sa zvýši presne o 21%. Koľko mesiacov prekročí suma vkladu prvýkrát 22 000 rubľov?

15. mája podnikateľ plánoval na 19 mesiacov zobrať si bankový úver vo výške 12 miliónov rubľov. Podmienky pre jej vrátenie sú tieto:

1. deň každého mesiaca sa dlh zvyšuje o 2% v porovnaní s koncom minulého mesiaca;

Od 2. do 14. dňa každého mesiaca musí byť splatená časť dlhu;

V 15. deň každého mesiaca musí byť dlh rovnakou sumou ako dlh v 15. deň predchádzajúceho mesiaca.

O koľko viac bude musieť podnikateľ zaplatiť v súvislosti s prijatou pôžičkou?

Na výrobu určitého produktu B, ktorý obsahuje 40% alkoholu, môže Alexey kúpiť suroviny od dvoch dodávateľov A a B. Dodávateľ A ponúka 90% roztok alkoholu v 1 000 litrových kanistroch za cenu 100 tisíc rubľov. pre nádobu. Dodávateľ B ponúka 80% alkoholový roztok v 2000 l plechovkách za cenu 160 tisíc rubľov. pre nádobu. Produkt B získaný počas výroby sa plní do fliaš v 0,5 litrových fľašiach. Aká je najmenšia suma, ktorú by mal Aleksey minúť za suroviny, ak plánuje vyrobiť presne 60 000 fliaš s produktom B?

Vladimír vlastní dve továrne na chladničky. Produktivita prvého zariadenia nepresahuje 950 chladničiek za deň. Produktivita druhého závodu bola spočiatku 95% produktivity prvého závodu. Po zavedení ďalšej linky druhá továreň zvýšila výrobu chladničiek za deň presne o 23% z počtu chladničiek vyrobených v prvom závode a začala vyrábať viac ako 1 000 z nich. Koľko chladničiek vyrobilo každý závod pred rekonštrukciou druhého zariadenia?

1. deň každého mesiaca sa dlh zvyšuje o 2% v porovnaní s predchádzajúcim mesiacom;

Od 2. do 14. dňa každého mesiaca musí byť splatená časť dlhu;

V 15. deň každého mesiaca musí byť dlh rovnakou sumou ako dlh v 15. deň predchádzajúceho mesiaca.

Je známe, že v štvrtom mesiaci požičiavania sa musí vyplatiť 54 tisíc rubľov. Koľko by sa malo banke vrátiť počas celej doby pôžičky?

V júli si klient vzal na niekoľko rokov pôžičku vo výške 8,8 milióna rubľov.

Podmienky pre jej vrátenie sú tieto:

Na začiatku každého nasledujúceho roka sa zostatok dlhu zvyšuje o 25% v porovnaní s koncom predchádzajúceho roka.
- do 1. júla každého roka musí klient splatiť časť dlhu banke tak, aby sa v porovnaní s 1. júlom každý rok znížil o rovnakú sumu.

Je známe, že posledná platba bude 1 milión rubľov. Nájdite celkovú výplatu, ktorú zákazník zaplatí banke.

Priatelia Pauline a Christina snívajú o tom, že sa stanú modelmi. 1. januára sa rozhodli začať schudnúť. Zároveň sa ukázalo, že Polina váha bola o 10% vyššia ako Christina.

Vo februári stratí Christina ďalšie 2%.

A) Aké najmenšie celé percento potrebuje Polina na chudnutie vo februári, takže do 1. marca bude jej hmotnosť nižšia ako hmotnosť Christiny?

B) Koľko váži Christina do konca februára, ak je známe, že 1. januára Polina vážila 55 kg?

Vklad je plánovaný na štyri roky. Počiatočný príspevok predstavuje celé množstvo miliónov rubľov. Na konci každého roka sa vklad zvyšuje o 10% v porovnaní s jeho veľkosťou na začiatku roka a navyše na začiatku tretieho a štvrtého roka sa vklad každoročne dopĺňa o 3 milióny rubľov. Nájdite najväčšiu veľkosť pôvodného vkladu, pri ktorom za štyri roky bude vklad nižší ako 25 miliónov rubľov.

Každá z týchto dvoch rastlín zamestnáva 20 ľudí. V prvom mlyne jeden pracovník vyrobí 2 časti A alebo 2 časti B na jednu zmenu. V druhom mlyne sú na výrobu t dielov (obidva A a B) potrebné t 2 man-smeny.

Obidve tieto zariadenia dodávajú časti do závodu, z ktorého je výrobok zostavený, na výrobu ktorých je potrebných 1 diel A a 1 diel B. Súčasne sa zariadenia medzi sebou dohodnú na výrobe častí tak, aby bolo možné zostaviť čo najväčší počet výrobkov. Koľko produktov môže spoločnosť za takýchto podmienok zostaviť za smenu?

1. deň každého mesiaca sa dlh zvyšuje o 2% v porovnaní s predchádzajúcim mesiacom;

Od 2. do 14. dňa každého mesiaca musí byť splatená časť dlhu;

V 15. deň každého mesiaca musí byť dlh rovnakou sumou ako dlh v 15. deň predchádzajúceho mesiaca.

Je známe, že v piatom mesiaci (od 2. do 14. júna) pôžičiek musíte banke zaplatiť 44 tisíc rubľov. Koľko by sa malo banke vyplatiť počas celej doby pôžičky?

Poľnohospodár má 2 polia, z ktorých každé má rozlohu 10 hektárov. Každé pole môže pestovať zemiaky a repu a pole sa môže medzi týmito plodinami rozdeliť v akomkoľvek pomere. Výťažok zemiakov v prvom poli je 300 c / ha av druhom - 200 c / ha. Úroda cukrovej repy v prvom poli je 200 c / ha av druhom - 300 c / ha.

Poľnohospodár môže predávať zemiaky za 4 000 rubľov. percent a cukrovej repy - za cenu 5 000 rubľov. na centner. Aký je najväčší príjem, ktorý môže poľnohospodár zarobiť?

Workshop dostal objednávku na výrobu 2 000 dielov typu A a 14 000 dielov typu B. Každý zo 146 pracovníkov v dielni trávi čas výrobou jednej časti typu A, počas ktorej mohol vyrábať 2 časti typu B. Ako by sa mali pracovníci v dielni rozdeliť do dvoch tímov, dokončiť objednávku v najkratšom možnom čase za predpokladu, že oba tímy začnú pracovať v rovnakom čase a každý z tímov bude zaneprázdnený výrobou častí iba jedného typu?

Každá z týchto dvoch rastlín zamestnáva 100 ľudí. V prvom mlyne jeden pracovník vyrobí 3 diely A alebo 1 časť B. Na zmenu sa v druhom mlyne vyžaduje výroba t-2 dielov (A aj B).

Obidve tieto zariadenia dodávajú časti do závodu, z ktorého je výrobok zostavený, na výrobu ktorých je potrebných 1 diel A a 3 časti B. Súčasne sa zariadenia dohodnú na výrobe dielov tak, aby bolo možné zostaviť čo najväčší počet výrobkov. Koľko produktov môže spoločnosť za takýchto podmienok zostaviť za smenu?

17. decembra 2014 si Anna požičala od banky 232 050 rubľov za 10% ročne. Schéma splácania úveru je nasledovná: 17. decembra každého nasledujúceho roku banka účtuje úroky zo zvyšnej sumy dlhu a Anna potom prevedie do banky X rubľov. Aká by mala byť suma X, aby Anna splatila celý dlh v štyroch rovnakých splátkach?

Sú to tieto:
- 1. deň každého mesiaca sa dlh zvyšuje o 3% v porovnaní s koncom predchádzajúceho mesiaca;
- od 2. do 14. dňa každého mesiaca je potrebné zaplatiť časť dlhu;
- V 15. deň každého mesiaca musí byť dlh rovnakou sumou ako dlh v 15. deň predchádzajúceho mesiaca.
Koľko by sa malo banke vrátiť počas prvého roka (prvých 12 mesiacov) úveru?

Podľa podnikateľského plánu sa do tohto štvorročného projektu plánuje investovať 10 miliónov rubľov. Na konci každého roka sa plánuje zvýšenie investovaných prostriedkov o 15% v porovnaní so začiatkom roka. Naakumulovaný úrok zostáva investovaný do projektu. Okrem toho sú bezprostredne po pripísaní úroku potrebné ďalšie investície: celé milión rubľov v prvom a druhom roku, ako aj celé milióny rubľov v treťom a štvrtom roku.

Nájdite najmenšie hodnoty nm, pre ktoré sa počiatočná investícia najmenej zdvojnásobí za dva roky a najmenej trojnásobne za štyri roky.

V dvoch regiónoch je 100 pracovníkov, z ktorých každý je pripravený 10 hodín denne pracovať na ťažbe hliníka alebo niklu. V prvej oblasti jeden pracovník extrahuje 0,3 kg hliníka alebo 0,1 kg niklu za hodinu. V druhej oblasti vyžaduje ťažba x kg hliníka denne x ^ 2 pracovné hodiny, zatiaľ čo ťažba y ^ 2 niklu za deň vyžaduje y ^ 2 pracovné hodiny.

Obidva regióny dodávajú vyťažený kov do závodu, kde sa vyrába zliatina hliníka a niklu pre potreby priemyslu, v ktorom 1 kg niklu predstavuje 2 kg hliníka. Regióny sa zároveň dohodli na ťažbe kovov tak, aby závod mohol vyrábať najväčšie množstvo zliatiny. Koľko kilogramov zliatiny za takýchto podmienok môže rastlina produkovať denne?

Koľko rokov plánujete prijať pôžičku, ak je známe, že celková výška platieb po jej úplnom splatení bude 18 miliónov rubľov?

Farmár má dve polia, z ktorých každé má rozlohu 10 hektárov. Každé pole môže pestovať zemiaky a repu a tieto polia sa môžu rozdeliť medzi tieto plodiny v akomkoľvek pomere. Výťažok zemiakov v prvom poli je 500 c / ha av druhom - 300 c / ha. Úroda cukrovej repy v prvom poli je 300 c / ha a na druhom - 500 c / ha.
Farmár môže predávať zemiaky za 2 000 rubľov. percent a cukrovej repy - za cenu 3 000 rubľov. na centner. Aký je najväčší príjem, ktorý môže poľnohospodár zarobiť?

10. júna banka vzala pôžičku na 15 mesiacov. Zároveň sa tretí deň každého mesiaca zvyšuje v porovnaní s koncom predchádzajúceho mesiaca o 4%, od 4. do 9. dňa každého mesiaca musí byť splatená časť dlhu, zatiaľ čo v 10. deň by mal byť dlh rovnaký. dlh k 10. dňu predchádzajúceho mesiaca.

V prvý deň každého mesiaca sa dlh zvyšuje o 1% v porovnaní s predchádzajúcim mesiacom;

Od 2. do 14. dňa každého mesiaca musí byť splatená časť dlhu;

V 15. deň každého mesiaca musí byť dlh rovnakou sumou ako dlh v 15. deň predchádzajúceho mesiaca. Je známe, že v prvých 12 mesiacoch musí banka zaplatiť 177,75 tisíc rubľov. Koľko si chcete požičať?

Budova kúpil podnikateľ a otvorí v nej hotel. Hotel môže mať štandardné izby 21 metrov štvorcových a luxusné izby 49 metrov štvorcových. Celková plocha, ktorú je možné prideliť pre izby, je 1099 metrov štvorcových. Podnikateľ môže rozdeliť túto oblasť medzi miestnosti rôznych typov, ako chce. Pravidelná izba prináša hotelu 2 000 rubľov denne a luxusná izba 4 500 rubľov denne. Aké najväčšie množstvo peňazí môže podnikateľ vo svojom hoteli zarobiť?

- V 15. deň každého mesiaca musí byť dlh rovnakou sumou ako dlh v 15. deň predchádzajúceho mesiaca.

Je známe, že za posledných 12 mesiacov je potrebné zaplatiť banke 1 597,5 tisíc rubľov. Koľko si chcete požičať?

15. januára sa plánuje poskytnutie bankového úveru na 14 mesiacov. Podmienky pre jej vrátenie sú tieto:
- v prvý deň každého mesiaca sa dlh zvyšuje o r% v porovnaní s koncom predchádzajúceho mesiaca;
- od 2. do 14. dňa každého mesiaca sa musí zaplatiť časť dlhu;
- V 15. deň každého mesiaca musí byť dlh rovnakou sumou ako dlh v 15. deň predchádzajúceho mesiaca.
Je známe, že celková suma platieb po úplnom splatení úveru je o 15% vyššia ako požičaná suma. Nájdite r.

Začiatkom roku 2001 získal Alexey zabezpečenie 7 000 rubľov. Na konci každého roka sa cena papiera zvyšuje o 2 000 rubľov. Na začiatku každého roka môže Alexey papier predať a výnosy vložiť na bankový účet. Suma na účte sa každý rok zvýši o 10%. Na začiatku toho roku, v ktorom by mal Alexey cenný papier predať, aby pätnásť rokov po zakúpení tohto cenného papiera bola suma na bankovom účte najvyššia?

Gregory je vlastníkom dvoch závodov v rôznych mestách. Továrne vyrábajú presne ten istý tovar, ale továreň v druhom meste používa modernejšie vybavenie.

Výsledkom je, že ak pracovníci v továrni v prvom meste pracujú celkom t ^ 2 hodiny týždenne, potom v tom týždni vyrábajú 3 t jednotky tovaru; ak pracovníci v továrni v druhom meste pracujú celkom t ^ 2 hodiny týždenne, potom pre tento týždeň vyrábajú 4 t jednotky tovaru.
- každý január sa dlh zvyšuje o 10% v porovnaní s koncom predchádzajúceho roka;
- od februára do júna každého roka je potrebné zaplatiť časť dlhu;
- v júli každého roka musí byť dlh rovnakou sumou ako dlh v júli predchádzajúceho roka.
Koľko miliónov rubľov predstavuje celková suma platieb po splatení úveru?

V júli sa plánuje prijať pôžičku od banky vo výške 6 miliónov rubľov na určité obdobie. Podmienky pre jej vrátenie sú tieto:
- každý január sa dlh zvyšuje o 20% v porovnaní s koncom predchádzajúceho roka;
- od februára do júna každého roka je potrebné zaplatiť časť dlhu;
- v júli každého roka musí byť dlh rovnakou sumou ako dlh v júli predchádzajúceho roka.
Aká je minimálna lehota na poskytnutie úveru, aby najväčšia ročná splátka úveru nepresiahla 1,8 milióna rubľov?

V júli sa plánuje uzavrieť pôžička vo výške 4 026 000 rubľov. Podmienky pre jej vrátenie sú tieto:
- každý január sa dlh zvyšuje o 20% v porovnaní s koncom minulého roka.
- od februára do júna každého roka je potrebné zaplatiť určitú časť dlhu.
O koľko viac rubľov budete musieť zaplatiť, ak je pôžička úplne splatená v štyroch rovnakých splátkach (tj o 4 roky) v porovnaní s prípadom, keď je pôžička úplne splatená v dvoch rovnakých splátkach (tj o 2 roky)?

V júli sa plánuje poskytnutie bankového úveru vo výške 100 000 rubľov. Podmienky pre jej vrátenie sú tieto:
- každý januárový dlh sa zvyšuje o% v porovnaní s koncom predchádzajúceho roka;
- od februára do júna každého roka je potrebné zaplatiť časť dlhu.
Nájdite číslo a, ak je známe, že pôžička bola úplne splatená za dva roky a v prvom roku bolo prevedených 55 000 rubľov a v druhom 69 000 rubľov.

Banka uložila sumu 3900 tisíc rubľov pri 50% pa. Na konci každého z prvých štyroch rokov skladovania vkladateľ po vypočítaní úroku navyše na účet uložil rovnakú pevne stanovenú sumu. Do konca piateho roka, keď sa úroky zvýšili, sa ukázalo, že veľkosť vkladu sa zvýšila oproti pôvodnému o 725%. Koľko vkladateľ do vkladu pridal ročne?

Podnikateľ vzal bankovú pôžičku vo výške 9 930 000 rubľov vo výške 10% ročne. Systém splácania úveru: raz ročne musí klient zaplatiť banke rovnakú sumu, ktorá pozostáva z dvoch častí. Prvá časť predstavuje 10% zostávajúceho dlhu a druhá časť je zameraná na splatenie zostávajúceho dlhu. Každý nasledujúci rok sa úrok účtuje iba zo zvyšného dlhu. Aká by mala byť výška ročnej splátky (v rubľoch), aby podnikateľ v plnej výške splatil úver v troch rovnakých splátkach?

USE na úrovni matematického profilu

Práca pozostáva z 19 úloh.
Časť 1:
8 úloh s krátkou odpoveďou na základnú úroveň obtiažnosti.
Časť 2:
4 úlohy s krátkou odpoveďou
7 úloh s podrobnou odpoveďou na vysokú úroveň zložitosti.

Čas ukončenia - 3 hodiny 55 minút.

Príklady zadaní skúšky

Riešenie úloh USE v matematike.

Pre nezávislé riešenie:

1 kilowatthodina nákladov na elektrinu 1 rubeľ 80 kopeckov.
Elektrometer 1. novembra vykázal 12 625 kilowatthodín a 1. decembra to bolo 12802 kilowatthodín.
Koľko by som mal platiť za elektrinu za november?
Odpovedzte v rubľoch.

Problém s riešením:

V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde ABCS so základnou ABC sú známe rebrá: AB \u003d 5 koreňov 3, SC \u003d 13.
Nájdite uhol tvorený základnou rovinou a priamkou prechádzajúcou stredom hrán AS a BC.

rozhodnutie:

1. Keďže SABC je pravidelná pyramída, ABC je rovnostranný trojuholník a ostatné tváre sú rovnoramenné trojuholníky.
To znamená, že všetky strany základne sú 5 štvorcových metrov (3) a všetky bočné okraje sú 13.

2. Nech D je stred BC, E - stred AS, SH - výška klesla z bodu S na základňu pyramídy, EP - výška znížená z bodu E na základňu pyramídy.

3. Nájdite AD z pravouhlého trojuholníka CAD pomocou Pythagorovej vety. Ukázalo sa, že 15/2 \u003d 7,5.

4. Keďže pyramída je pravidelná, bod H je priesečníkom výšok / mediánov / bisektorov trojuholníka ABC, čo znamená, že delí AD v pomere 2: 1 (AH \u003d 2 AD).

5. Nájdite SH z pravouhlého trojuholníka ASH. AH \u003d AD 2/3 \u003d 5, AS \u003d 13, podľa Pytagorovej vety SH \u003d sqrt (13 2 -5 2) \u003d 12.

6. Trojuholníky AEP a ASH sú obdĺžnikové a majú spoločný uhol A, preto sú podobné. Hypotézou AE \u003d AS / 2, takže AP \u003d AH / 2 a EP \u003d SH / 2.

7. Zostáva zvážiť EDP s pravouhlým trojuholníkom (práve nás zaujíma uhol EDP).
EP \u003d SH / 2 \u003d 6;
DP \u003d AD 2/3 \u003d 5;

Uhlový uhol EDP \u003d EP / DP \u003d 6/5,
Uhol EDP \u003d arctg (6/5)

odpoveď:

USE 2019 v matematickej úlohe 17 s riešením

Demonštračná verzia skúšky 2019 z matematiky

Jednotná štátna skúška z matematiky 2019 vo formáte pdf Základná úroveň Úroveň profilu

Úlohy na prípravu na skúšku z matematiky: základná a profilová úroveň s odpoveďami a riešením.