Ожидаемая доходность и стандартное отклонение. Этот пример позволит вам на практике рассчитать показатели, которые мы можем ожидать от инвестиционного портфеля. Даны два вида акций и три состояния экономики:
Рассчитайте стандартное отклонение и ожидаемую доходность для каждого типа акций.
Риск портфеля и доходность. Вернемся к примеру 11.1 и предположим, что всего вы имеете $20000. Если вы вложите $6000 в акции A , а остальное в B , какими будут ожидаемая доходность и стандартное отклонение вашего портфеля?
Риск и доходность. Предположим, что вы рассматриваете следующую ситуацию:
| Ценные бумаги | Бета | Ожидаемая доходность |
| Cooley, Inc. | 1,6 | 19% |
| Moyer Co. | 1,2 | 16% |
Если ставка, свободная от риска, составляет 8%, правильно ли оценены данные ценные бумаги? Какой должна была бы быть ставка, свободная от риска, если ценные бумаги оценить правильно?
CAPM . Предположим, что ставка, свободная от риска, составляет 8%. Ожидаемая доходность на рынке составляет 14%. Если конкретный вид актива имеет (3 = 0,6, то какова ожидаемая доходность этого актива, основываясь на CAPM ? Если другой актив имеет ожидаемую доходность 20%, то какой должен быть (3 коэффициент?
Ответы
Ожидаемые доходности рассчитываются как произведение возможных доходностей на их вероятности:
E(R A ) = 0,1 х (-0,2) + 0,6 х (0,1) + 0,3 х (0,7) = 25% E(RB) = 0,1 х (0,3) + 0,6 х (0,2) + 0,3 х (0,5) = 30%
Непостоянство рассчитывается как сумма произведений квадратов отклонения ожидаемых доходностей на их вероятности:
Од = 0,1 х (-0,2 - 0,25)2 + 0,6 х (0,1 - 0,25)2 + 0,3 х (0,7 - 0,25)2 = = 0,1 х (-0,45)2 + 0,6 х (-0,15)2 + 0,3 х (0,45)2 = = 0,1 х 0,2025 + 0,6 х 0,0225 + 0,3 х 0,2025 = 0,0945
а2, = 0,1 х (0,3 - 0,3)2 + 0,6 х (0,2 - 0,3)2 + 0,3 х (0,5 - 0,3)2 =
0,1 х (0,0)2 + 0,6 х (-0,1)2 + 0,3 х (0,2)2 =
0,1 х 0,0 + 0,6 х 0,01 + 0,3 х 0,04 = 0,0180 Стандартные отклонения равны: аА = УО,0945 =30,74% aB = VO,0180 = 13,42%
Вес каждого типа акций в портфеле составляет: $6000/20000 = 0,3 и $14000/20000 = 0,7. Тогда ожидаемая доходность портфеля составит:
Щ/У = 0,3 х E(RA) + 0,7 х E(RB) = 0,3 х 25% + 0,7 х 30% = 28,50%
Тогда доходность портфеля составляет
E(R p ) = 0,1 х (0,15) + 0,6 х (0,17) - 0 3 х (0,56) = 28,50%.
Это тот же самый результат, что мы получили ранее.
Рассчитаем непостоянство портфеля
Ор = 0,1 х (0,15 - 0,285)2 + 0,6 х (0,17 - 0,285)2 + 0,3 х (0,56 - 0,285)2 = 0,03245
Тогда стандартное отклонение есть корень квадратный из 0,03245 и равно 18,01%
Если мы рассчитаем коэффициент награды за риск для ценных бумаг каждой компании, мы в результате получим (19% - 8%)/1,6 = 6,875% для Cooley и 6,67% для Моуег По отношению к Cooley ожидаемая доходность Моуег слишком низкая, поэтому ее цены слишком высокие
Если ценные бумаги обеих компаний оценены правильно, то они должны предлагать одинаковый коэффициент награды за риск Таким образом, мы можем составить уравнение
(19% - Rj)/],6 = (16% - Rf)/l,2
Произведя небольшие алгебраические преобразования, мы получим /?у= 7%
(19% - Rf) = (16% - ЯД 1,6/1 ,2) 19% - 16% х (4/3) = Rf - Rf x (4/3) йу=7%
Так как рыночная ожидаемая доходность составляет 14%, то рыночная премия риска соответственно (14% - 8%) = 6% (ставка, свободная от риска, равна 8%) Первый вид ценных бумаг имеет Р = 0,6, значит ожидаемая доходность составляет 8% + 0,6x6%= 11,6%
Для второго вида премия риска составляет 20% - 8% = 12% Так как это ровно в два раза превышает рыночную премию риска, то и р коэффициент должен быть точно равен 2 Мы можем проверить это используя теорию CAPM
20% = 8% + х р Р, = 12%/6% = 2,0
Вопросы и задачи
Ожидаемые доходности портфеля. Если портфель имеет положительные инвестиции в каждый вид актива, может ли ожидаемая доходность такого портфеля быть больше, чем доходность каждого актива в этом портфеле? Меньше? Если у вас положительный ответ на один или оба вопроса, пожалуйста приведите пример, чтобы аргументировать ваше решение.
Непостоянство индивидуального актива и диверсификация. Правда или нет: наиболее важной характеристикой при определении ожидаемой доходности хорошо диверсифицированного портфеля являются непостоянства индивидуальных активов портфеля. Объясните.
Риск портфеля. Если портфель имеет положительные инвестиции в каждый вид актива, может ли стандартное отклонение такого портфеля быть меньше, чем стандартное отклонение каждого актива в этом портфеле? Что вы можете сказать о b такого портфеля?
Доходности портфеля. Используя информацию предыдущей главы об истории рынка ценных бумаг, определите, какой была доходность портфеля, который былодинаково распределен между обыкновенными акциями и долгосрочными правительственными облигациями? Который одинаково распределен между малыми акциями и векселями Казначейства?
CAPM . Используя CAPM , докажите, что коэффициент премии риска двух активов равен их коэффициентам р.
Доходности портфеля и отклонения. Имея следующую информацию о портфеле, состоящем из трех видов ценных бумаг, определите:
Если вы инвестировали по 30% в A и B , 40% в C , какой будет ожидаемая доходность портфеля? Непостоянство? Стандартное отклонение?
Если ожидаемый уровень доходности T-bill составляет 5,25%, то какой будет премия риска портфеля?
Если ожидаемый уровень инфляции составляет 5%, то какова реальная ожидаемая доходность портфеля? Какова реальная премия риска портфеля?
Анализ портфеля. Вы хотите создать портфель с таким же уровнем риска, что и фондовый рынок в целом. У вас есть $200000. Имея нижеприведенную информацию, заполните недостающие позиции:
| Актив | Инвестиции, $ | b |
| Вид A | 1,20 | |
| Вид B | 0,85 | |
| Вид C | ?? | 1,40 |
| Актив, свободный от риска | ?? | ?? |
Анализ портфеля. Вы имеете $100000 для инвестиций либо в ценные бумаги типа D , либо в F, либо в актив, свободный от риска. Вы должны вложить все ваши деньги. Ваша цель – создание портфеля с ожидаемой доходностью 10% и только с 60% риска, по сравнению с остальным рынком. Если D имеет ожидаемую доходность 20% и Р = 1,50, F имеет ожидаемую доходность 15% и Р = 1,15, ставка, свободная от риска составляет 5%, то сколько денег вы вложите в F?
Систематический риск против несистематического. Вы имеете следующую информацию:
Рыночная премия риска составляет 8% и ставка, свободная от риска, равна 6%. Какой вид ценных бумаг имеет наибольший систематический риск? Какой вид имеет наибольший несистематический риск? Какой вид ценных бумаг наиболее рискованный? Объясните.
Вопросы повышенной сложности
Коэффициенты b. Может ли рискованный актив иметь b = 0? Объясните. Используя модель CAPM , какой будет ожидаемая доходность такого актива? Может ли рискованный актив иметь отрицательный b коэффициент? Что предсказывает CAPM об уровне ожидаемой доходности для такого актива? Можете ли вы пояснить свой ответ?
Линия состояния фондового рынка (SML ). Предположим, что вы рассматриваете следующую ситуацию:
| Ценные бумаги компании | b | Ожидаемая доходность |
| Abel Co. | 1,15 | 18% |
| Baker Co. | 0,80 | 15% |
Допустим, что эти ценные бумаги правильно оценены. Основываясь на CAPM , определите, какой будет ожидаемая рыночная доходность? Какова ставка, свободная от риска?
Экзамен CFA – экзамен на получение сертификата финансового аналитика, который выдается специалистам в области инвестиций в США.
Определение доходности акции является очень важным как в процессе принятия решения касательно покупки актива, так и при управления инвестициями.
Акция – это ценная бумага, которую в определенный момент выпускает акционерное общество. Данный документ удостоверяет право собственности на зафиксированную в документах долю в уставном капитале соответствующего АО.
В качестве эмитента акций могут выступать разнообразные предприятия, коммерческие (и не только) банки, различные инвестиционные компании и любые другие биржевые, промышленные, коммерческие структуры, которые были созданы в формате АО.
В связи с наличием нескольких этапов существования ценных бумаг, их достаточно длительным обращением на рынке, есть несколько цен акций, каждая из которых играет достаточно важную роль в их оценке: номинальная стоимость, эмиссионная и рыночная.
Определение номинальной и рыночной цены
Доходность акции определяется несколькими параметрами, но до того, как ее определить, необходимо разобраться с другими важными показателями и особенностями расчета. Номинальная цена – это стоимость, которая высчитывается посредством деления общей величины уставного капитала АО на количество выпущенных ценных бумаг.
Формула подсчета номинальной цены:
НЦ = УК: N
Здесь: НЦ – номинальная цена, УК – уставной капитал, N – число акций.
Данный тип цены является определенным ориентиром в определении ценности бумаги, выступая базой для формирования рыночной и эмиссионной стоимости, а также уровня дивидендов.
Именно пропорционально номинальной стоимости ценных бумаг осуществляются выплаты долей акционеров в случае ликвидации АО.
Цена, за которую инвестор , называется стоимостью приобретения .
В случае, когда бумаги приобретаются у самого эмитента (первичный рынок ценных бумаг), стоимость называется эмиссионной, когда же сделка заключается на вторичном рынке – речь уже идет про рыночную цену.
Рыночная стоимость из расчета на 100 ден. единиц номинала – это курс, который определяется по формуле:
КА = РЦ х 100: НЦ
Здесь: КА – курс акции, РЦ – ее рыночная цена, НЦ – номинальная.
Уровень дохода от ценных бумаг и его расчет
Доходность акции – это сумма роста курсовой цены бумаги и дивидендов. Полную годовую прибыль вычисляют в процентах с использованием формулы:
ДА = (ДГ + (КЦ – НЦ)) х 100: НЦ
Здесь: ДА – доход от акции, ДГ – дивиденды за год в рублях, КЦ – курсовая цена на момент подсчетов в рублях, НЦ – номинальная либо рыночная цена в рублях.
Если ценные бумаги были куплены после начала календарного финансового года либо проданы до его завершения, то прибыль считается не за весь год, а лишь за определенные дни и формула выглядит так:
ДА = (ДГ + (КЦ – НЦ)) х В х 100: (НЦ х 365)
Здесь: В – время владения бумагой в течение года в днях.
В данном случае оценка стоимости и доходности выполняется для того, чтобы понять, какую прибыль акционер может получить от роста цены. Но реализована прибыль может быть лишь в том случае, если акция будет продана по новой стоимости. Прибыль в таком случае равна приросту капитала и возможному доходу акционера (потенциально).
Доходность акции характеризуют два основных фактора:
- Дивиденды – часть распределяемой между акционерами прибыли АО
- Продажа – возможность реализовать ценные бумаги на фондовой бирже, получив за них больше, чем было заплачено ранее
Дивиденды – это определенная часть распределяемой прибыли акционерного общества в перерасчете на одну акцию. Дивиденды могут быть рассмотрены в качестве своеобразной премии инвестору за тот риск, которому он подверг свои средства, вкладывая их в бумаги именно этого акционерного общества. В случае покупки бумаг Сбербанка риски будут одни, при вложениях в стартап – совершенными иными, но они всегда присутствуют.
Расчет дивидендной ставки:
ДС = ДД: НЦ
Тут: ДС – показатель, ДД – дивидендный доход, НЦ – номинальная стоимость.
Доходностью называется соотношение прибыли к вложенным средствам.
Ставка текущей прибыли рассчитывается по формуле:
ТП = ДД: ЭРЦ
Тут: ЭРЦ – рыночная или эмиссионная стоимость.
Но дивиденды являются не единственным источником прибыли от ценных бумаг. Для инвестора часто основным заработком становится меняющаяся цена акции – ожидание, что в будущем биржевой курс существенно вырастет. может обеспечить хороший заработок.
Абсолютным размером дополнительной прибыли считается разница между ценой рыночной и стоимостью покупки. Дополнительной доходностью считают:
ДД = АД: ЦП = (РЦ – ЦП) : ЦП
Тут: ДД – дополнительная доходность, АД – абсолютный размер дополнительной прибыли, ЦП – цена приобретения, РЦ – рыночная цена.
Общий доход считают так в виде суммы ставки дивидендов и суммы дополнительного дохода.
Важным понятием является ожидаемая доходность акции – процентная ставка либо сумма, которую планирует инвестор получить по прошествии определенного промежутка времени в результате вклада в актив. Данный показатель рассчитывается на базе исторических данных изменений цены либо с полным набором вероятностей.
Если есть полный набор вероятностей, то ожидаемая доходность может быть рассчитана по формуле:
Pi – возможность наступления i определенного исхода событий
ki – прибыльность при этих условиях
n – число исходов событий
Но в реальных условиях финансового рынка инвесторы чаще всего берут во внимание исторические данные. Тогда ожидаемую прибыльность считают как среднеарифметическое:
ki – прибыльность ценной бумаги в периоде i
n – число наблюдений
Оценка привлекательности ценных бумаг
На рынке ценных бумаг есть определенные активы, прибыльность которых может быть довольно легко спрогнозирована. Так, вряд ли сильно будет меняться цена активов Яндекс, а вот доходность акций Газпрома ввиду некоторых обстоятельств не так хорошо предсказуема. Чтобы оценить перспективность инвестиций, необходимо учитывать некоторые факторы.
1) В первую очередь, учитывают реальную рыночную стоимость бумаг – самую вероятную сумму, на которую можно обменять акцию, заключая сделку с прекрасно осведомленным грамотным продавцом. Обе стороны – продавец и покупатель должны обладать достаточной информацией касательно актива и действовать открыто.
Когда цена акции намного ниже реальной (высчитанной по всем формулам и оцененной в соответствии с перспективами эмитента) – нужно скупать актив, если оценена выше – желательно быстро продавать. Так, довольно легко было проследить, что доходность некоторых акций российских компаний в 2016 году была намного ниже ожидаемой ввиду определенных событий и потрясений в экономике. В то же время, недооцененные активы показали неожиданный рост и дали хороший держателям.
2) Собираясь покупать ценные бумаги компании/предприятия, нужно оценить перспективы роста : реальный и ожидаемый доход, конкурентоспособность и перспективы услуг/товаров, возможность расширения деятельности и «захвата» новых рынков, уровень квалификации руководителей и менеджеров и т.д.
При покупке акций учитывают такие показатели:
- Рыночная стоимость (реальная на данный момент)
- Экономическая стоимость (ожидаемая)
- Номинальная цена (официальная, установленная при утверждении устава)
Часто инвесторы осторожно относятся к резко взлетевшим в цене активам. Но не стоит бояться, что теперь их ждет лишь падение: так, акции Apple растут постоянно и после каждого нового взлета, когда кажется, что подорожания уже не будет, цифры снова доказывают обратное. Поэтому в таком случае нужно анализировать причины подорожания и выявлять перспективы.
3) Обращают внимание на отношение капитализации (общей цены ценных бумаг) к прибыли (Р/Е). Чем более высокий коэффициент, тем более дорогой является акция в сравнении с прибылью предприятия. Если компания демонстрирует высокий показатель, это говорит о том, что инвесторы могут рассчитывать на стремительный рост бизнеса.
Нужно помнить, что в разных секторах промышленности, экономики данный показатель может сильно отличаться. Если проанализировать дивидендную доходность российских акций в 2016 году, можно увидеть совершенно разные цифры и не всегда они говорят про плохую и хорошую финансовую ситуацию в компании, часто речь просто идет о разных сферах деятельности: у сырьевых компаний низкие цифры, у технологических – высокие.
4) Инвесторы смотрят и на отношение капитализации к свободному финансовому потоку (Р/СF) – деньги, которые остаются у предприятия после выплаты всех расходов. Если показатель низкий, то бизнес здоровый и дивиденды будут хорошими, если высокий – это говорит про наличие проблем. С другой же стороны, очень хорошие показатели могут говорить о том, что бизнес не развивают, а всю прибыль забирают из проекта.
5) Еще один важный критерий – отношение капитализации к балансовой цене активов (Р/ВV), которая представляет собой активы с вычетом обязательств и долгов. Так, если капитализация равна 2 миллионам, а активы – 1 миллиону, то Р/ВV будет 2, что неплохая цифра.
6) Может быть полезен расчет капитализации в соотношении с выручкой (Price/Sales) – многие инвесторы предпочитают компании с очень большой выручкой, но это не всегда гарантия высокого дохода.
Чтобы иметь возможность получать прибыль от инвестиций в ценные бумаги, нужно хорошо знать рынок, искать недооцененные активы, прогнозировать изменения наперед. Портфель вложений желательно диверсифицировать, вкладывая в ценные бумаги компаний, работающих в разных секторах экономики. Если самостоятельно управлять активами трудно, можно обратиться к управляющим, войти в состав фонда.
В таблице 8.1 представлены три варианта (сценария) возможного развития событий: пессимистический, средний и оптимистический . Определена также вероятность их наступления. Сумма вероятностей равна единице. Вероятность наступления какого-либо события менеджер оценивает на основе статистических данных за прошедший период с учетом мнений экспертов или опираясь на собственные прогнозы. Так, если прогнозируется событие, которое уже имело место в прошлом, менеджер, руководствуясь статистическими материалами, может довольно точно определить вероятность его наступления. Взять, к примеру, компанию, которая страхует клиентов от несчастного случая. Если в прошлом на 1000 застрахованных было зафиксировано 25 несчастных случаев, то вероятность этого события можно оценить как 2,5%.
При прогнозировании сложных экономических ситуаций или при оценке принципиально новых инвестиционных проектов статистика отсутствует. В этих случаях менеджеры вынуждены прибегать к оценкам экспертов, финансовых консультантов, к результатам научных исследований и собственного опыта. В этом случае чрезвычайно важен квалифицированный отбор экспертов и корректная обработка их мнений. Только так можно получить объективный результат.
Имея экспертную оценку вероятности по каждому из сценариев, можно определить наиболее вероятный исход по каждому из проектов. Для этого рассчитывается ожидаемая доходность (В ). Это делается по формуле:
где Д i - доходность по сценарию i ;
p i - вероятность развития событий по сценарию i ;
n - общее число возможных сценариев.
Наиболее вероятный результат, исходя из возможных сценариев, для каждого из проектов составит:
Д А = 0,25· 20 + 0,5 · 30 + 0,25 · 40 = 30% ;
Д B = 0,25 · 10 + 0,5 · 30 + 0,25 · 50 = 30% .
Итак, наиболее вероятная доходность по проекту А и проекту В будет одинаковой, и составит 30%. Однако разброс (вариация) ожидаемых доходностей по проекту В больше. Он колеблется от 10 до 50%. По проекту А разброс доходностей ниже: от 20 до 40%. Уже на основе этих данных можно сделать предварительный вывод, что проект В является более рискованным. Здесь отклонение ожидаемых доходностей от наиболее вероятного результата значимее.
Но как оценить степень риска? Для этого необязательно строить графики оцениваемых показателей для всех проектов. Достаточно использовать такие измерители, как дисперсия, среднеквадратическое (стандартное) отклонение, коэффициент вариации.
Дисперсия характеризует степень разброса возможных результатов от наиболее вероятного значения, присущего проекту. Дисперсия (δ 2) дискретного распределения рассчитывается по формуле:
,
На основе данных, представленных в таблице 8.1, определим дисперсию для проектов А и В :
Как видим, проект В имеет более высокое значение дисперсии, и его поэтому можно оценить как более рискованный. Если менеджеры не склонны рисковать, то они отдадут предпочтение проекту А .
На основе показателя дисперсии рассчитывают среднеквадратическое (стандартное) отклонение - статистическую меру вариации или широты распределения:
.
Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и оцениваемый показатель. Если мы пытаемся оценить доходность в процентах, то и стандартное отклонение также будет измеряться в процентах. В нашем примере стандартное отклонение для проекта А равно = 7,07%, а для проекта В = = 14,1%, что вновь подтверждает более высокий риск проекта В .
Итак, на основе показателей дисперсии и стандартного отклонения можно сделать вывод о большей рискованности проекта В . Данный вывод абсолютно справедлив, поскольку наиболее вероятная доходность по обоим рассматриваемым проектам одинакова и составляет 30%. А как быть в том случае, если по одному из проектов доходность и стандартное отклонение выше, чем по другому. Рассмотрим пример данных по проекту I и проекту II (табл. 8.2).
Таблица 8.2
Риск и доходность по проектам (цифры условные), %
Проект I является более доходным по сравнению с проектом II, но одновременно он имеет и большую степень риска. Стандартное отклонение по проекту составляет 7,5%, а по проекту II - только 6,1%. Для принятия решения в данном случае необходимо рассчитать коэффициент вариации.
Коэффициент вариации показывает меру относительной рискованности и характеризует риск на единицу наиболее вероятного результата. Коэффициент вариации (CV) рассчитывается как отношение стандартного отклонения к ожидаемому результату:
В рассматриваемом примере коэффициент вариации для проекта I равен 7,5: 30 = 0,25. Для проекта II характерна иная цифра: 6,1: 25 = 0,24. Чем выше коэффициент вариации, тем больше степень риска на единицу результата. Следовательно, проект I, имеющий более высокий коэффициент вариации, является более рискованным. Несмотря на то, что проект I предполагает более высокую доходность, грамотный финансист предпочтет проект II. Здесь относительный риск (на единицу доходности) все-таки ниже.
Древо вероятностей
Измерение риска на основе дисперсии базируется на показателях вероятности наступления события по каждому из рассматриваемых сценариев. Однако оценка события и вероятность его наступления со временем меняются, поскольку трансформируются и внутренние факторы, оказывающие влияние на деятельность компании. По прошествии нескольких этапов появляются промежуточные результаты. Это позволяет более точно оценивать вероятность наступления последующих событий. Как правило, результат, полученных на первом этапе, оказывает влияние на итоги всех последующих. Словом, существует определенная зависимость между результатами, полученными в разные периоды осуществления проекта.
Понятно, что результат первого периода неизбежно обусловливает ряд возможных вариантов развития событий в следующем периоде. Если же в ходе первого периода будет достигнут другой результат из-за развития событий по иному сценарию, то в дальнейшем появится другое множество вариантов. Для оценки временного фактора, когда меняется математическое ожидание и дисперсия вероятного распределения по мере перехода от одного этапа к другому, строится древо вероятностей, где:
1, 2 - исходные вероятности, соответственно, лучшая и худшая;
1.1, 2.1 - условные лучшие вероятности;
1.2, 2.2 - условные худшие вероятности.
По оси ординат показывается результирующий показатель проекта, в качестве которого может выступать доходность, денежный поток и т.п. На рис. 8.1 в качестве результирующего показателя рассматривается денежный поток: чем он больше, тем эффективнее проект. На рисунке представлены денежные потоки в течение трех периодов .
По истечении первого периода могут быть достигнуты два результата: лучший - верхняя ветвь и худший - нижняя ветвь. Каждый из полученных результатов, в свою очередь, дает несколько последующих вариантов, так как при достижении лучшего варианта по итогам первого периода развитие будет осуществляться по одному сценарию, а в случае получения худшего результата - по другому. Аналогичная картина наблюдается при завершении второго периода и переходе к третьему периоду .
В рассматриваемом примере начало первого периода не зависит от событий, которые были прежде. Вероятные результаты получаются при завершении первого периода (первые две ветви). Их называют исходными вероятностями. Для всех последующих периодов результаты зависят от развития предыдущих событий. Поэтому вероятности, соответствующие в нашем примере второму и третьему периодам, называют условными. Следовательно, если изучить цепочку исходной и условных вероятностей в их единстве, то получим совместную вероятность развития событий.
Пример 8.1
Рассмотрим пример расчета чистых денежных потоков по проекту для двух периодов. Первоначальные вложения составили 20 млн руб. в период 0. В результате этих вложений возможны два варианта денежных потоков в 1-м периоде. С вероятностью 0,4 будет получен убыток в 10 млн руб. и с вероятностью 0,6 - положительный денежный поток, равный 15 млн руб.
Отрицательный поток на 1-м периоде в размере 10 млн руб. вызывает во 2-м периоде с вероятностью 0,3 денежный поток, равный 12 млн руб., и с вероятностью 0,7 - поток, равный 22 млн руб. Положительный поток в размере 15 млн р., в свою очередь, на втором этапе с вероятностью 0,4 вызывает денежный поток в сумме 30 млн руб. и с вероятностью 0,6 - денежный поток, равный 40 млн руб. Таким образом, исходная вероятность в размере 0,4 разделяется на совместные вероятности 0,12 и 0,28, а исходная вероятность 0,6 - на 0,24 и 0,36.
Которые могут включать акции , облигации , казначейские векселя и т.п. Таким образом, ожидаемая доходность портфеля будет зависеть от ожидаемой доходности каждого из активов, входящих в него. Такой подход позволяет снизить риск за счет диверсификации и одновременно максимизировать доход инвестора, поскольку убытки по одним инвестициям будут компенсированы доходом по другим.
Формула
Ожидаемая доходность портфеля представляет собой суммарную ожидаемую доходность входящих в него ценных бумаг, взвешенную с учетом их доли в портфеле.
где w i – удельный вес i-ой ценной бумаги в портфеле;
I - ожидаемая доходность i-ой ценной бумаги.
(Как рассчитывается ожидаемая доходность ценной бумаги можно прочитать здесь)
Пример расчета
Пример 1 . Инвестор рассматривает возможность формирования портфеля из трех ценных бумаг, доходность которых и вероятность каждого сценария представлена в таблице. При этом планируемая доля акций Компании А в портфеле составляет 35%, акций Компании Б 50% и акций Компании В 15%.
Поскольку известен полный набор вероятностей, то есть заранее известны вероятности всех возможных сценариев развития событий, ожидаемая доходность акций Компании А составит 11%, акций Компании Б 8,5% и акций Компании В 20,8%.
А = -3* 0,25+12*0,5+21*0,25 = 11%
Б = -7*0,3+8*0,4+25*0,3 = 8,5%
В = -15*0,2+23*0,5+41*0,3 = 20,8%
Таким образом, ожидаемая доходность портфеля составит 11,22%.
P = 0,35*11+0,5*8,5+0,15*20,8 = 11,22%
Пример 2 . Предположим, что инвестор сформировал портфель из трех акций, данные об исторической доходности которых представлена в таблице.
При этом доля акций Компании А в портфеле составляет 30%, акций Компании Б 40% и акций Компании В 30%.
Чтобы рассчитать ожидаемую доходность портфеля необходимо рассчитать ожидаемую доходность каждой из ценных бумаг, входящих в него. Для акций Компании А она составит 3,24%, акций Компании Б 2,48% и акций Компании В -2,08%.
Учитывает все возможные доходы и определяет весомость того дохода, получение которого имеет наибольшую вероятность . В основу ожидаемой доходности положено понятие математического ожидания .
Ожидаемая доходность вычисляется по формуле:
M (R) = ∑ i = 1 n P i ∗ R i {\displaystyle \operatorname {M} (R)=\sum _{i=1}^{n}P_{i}*R_{i}} ,Значение i {\displaystyle i} доходности (окупаемость инвестиций),
- вероятность получения доходности R i {\displaystyle R_{i}} ,
N {\displaystyle n}
Например, если известно, что инвестиция даёт 50 % вероятности получения 10 % доходности, 25 % вероятности получения 20 % доходности, 25 % вероятности получения −10 % доходности, ожидаемая доходность будет равна 7,5 %
= (0,5) (0,1) + (0,25) (0,2) + (0,25) (-0,1) = 0,075 = 7,5 %
Фактическая доходность может отличаться от полученного значения ожидаемой доходности. Статистический метод вычисления дисперсии случайной величины позволяет измерить вероятность отклонения фактической доходности от ожидаемой доходности. Чем выше дисперсия доходности у финансового инструмента, тем больше неопределённость у инвестора о будущих доходах. Следовательно инструмент с большей величиной дисперсии доходности является более рискованным финансовым инструментом.
Дисперсия
M (R) {\displaystyle M(R)} - ожидаемая доходность,
P i {\displaystyle P_{i}} вероятность получения доходности R i {\displaystyle R_{i}} ,
N {\displaystyle n} - количество потенциальных значений доходности.
Для приведённого выше примера дисперсия будет равна 0,011875:
= (0,1-0,075)² * (0,5) + (0,2-0,075)² * (0,25) + (-0,1-0,075)² * (0,25) = 0,011875