Нетто-премия - часть страховой премии, предназначенной непосредственно для покрытия ущерба. Нетто-премия является главной составной частью брутто-премии..
Нетто-премия состоит из чистой нетто-премии по риску и рисковой (страховой) надбавки.
Чистая нетто-премия
Определение нетто-премии по риску традиционно относится к области актуарных расчётов и страховой математики. Чистая нетто-премия рассчитывается на основании данных об ущербах за прошлый период и представляет собой произведение частоты наступления страхового случая на средний размер ущерба по всей совокупности наступивших в прошлом страховых случаев.
Чистая премия по риску = Частота ущерба х Средний размер ущерба
Частота ущерба определяется как частное от деления числа случаев ущерба в наблюдаемом множестве на число входящих в это множество единиц наблюдения.
Средний размер ущерба представляет собой частное от деления общей суммы ущерба за наблюдаемый период на число случаев ущерба за этот же период.
Рисковая (страховая) надбавка
Рисковая надбавка предназначена для повышения надежности страховой защиты.
При выявлении закономерности появления ущерба в результате случайных событий в прошлом и определении на основе этого прошлого опыта убыточности в будущем неизбежны ошибки двух видов:
- Ошибка диагноза, которая появляется вследствие неполной информации. Это связано с тем, что статистическая выборка ограниченна и не отвечает требованиям закона больших чисел.
- Ошибка прогноза, которая состоит в том, что в будущем не будет полного совпадения с обстоятельствами предшествующего периода, на основании которого определялась чистая премия по риску. Это может быть следствием влияния неучтённых или изменившихся факторов. Доказано, что даже при очень хорошей информации об ущербах будущий ущерб превышает его величину в половине случаев.
Для того, чтобы гарантировать надёжную страховую защиту, т.е. повысить вероятность того, что собранных денег хватит на выплату ущерба в будущем по всем случаям, к чистой нетто-премии добавляют рисковую (страховую) надбавку.
Величина рисковой надбавки не может быть меньше величины стандартного отклонения показателя убыточности страховой суммы.
Использование нетто-ставки страхового тарифа для определения нетто-премии
Ожидаемую величину нетто-премии можно определить как произведение страховой суммы на нетто-ставку. Нетто-ставка представляет собой процент, который отражает вероятность убытка, рассчитанную на основе соотношения ущерба к совокупной страховой сумме застрахованных объектов.
Размер нетто-премии определяется по формуле:
Нетто-премия = Страховая сумма х Нетто-ставка/100
Согласно теории риска, величина выплаты по конкретному договору страхования является случайной величиной. Следовательно, сумма выплат по всем договорам также будет являться случайной величиной. То есть она может принимать любое значение от нуля до максимально возможной величины выплат, равной совокупной страховой сумме по всем договорам.
Для обеспечения 100% гарантии страховых выплат, страховщик должен сформировать страховой фонд в размере совокупной страховой суммы. В этом случае нетто-премия по каждому договору будет равна страховой сумме. Таким образом, с учетом нагрузки страхователь должен будет заплатить больше, чем получит при наступлении страхового случая. Поэтому при расчете страховых премий страховщики вынуждены принимать гарантию безопасности меньше 100%. На практике ее величина находится в пределах от 85 до 99,9%.
Исходное неравенство для определения величины нетто-премий имеет вид:
вероятность {сумма выплат < величина страхового фонда} ³ g,
где γ - величина гарантии безопасности.
Величина нетто-премий определяется исходя из требуемого размера страхового фонда, который формируется за счет них.
Величина нетто-премий отражает тот риск, который представляет собой данный договор для страховщика. Количественно этот риск оценивается через вероятную величину выплаты, причем максимально возможная выплата, по определению, равна страховой сумме.
Ожидаемую величину выплаты, и, следовательно, нетто-премию можно выразить:
Нетто-премия = Страховая сумма * Нетто-ставка/100,
Нетто-ставка (нетто-тариф) отражает степень риска страховщика и выражается либо в % от страховой суммы, либо в рублях со 100 рублей страховой суммы. На размер нетто-ставки влияют два фактора:
Вероятность наступления страхового случая по данному договору;
Ожидаемая тяжесть страхового случая, которая определяется отношением ожидаемой величины выплаты по страховому случаю к страховой сумме по договору.
Величина страховой суммы выбирается страхователем. Верхним ее пределом является стоимость страхуемого имущества.
Нетто-премия представляет собой основную часть брутто-премии. Брутто-премию можно представить как произведение страховой суммы на страховой тариф или тарифную ставку. Тарифная ставка, которая определяет величину страхового взноса, называется брутто-ставкой и представляет собой платеж со 100 рублей страховой суммы или % ставку от страховой суммы:
Страховая премия = Страховая сумма * Брутто-ставка/100,
Брутто-ставка состоит из нетто-ставки и нагрузки. Доля нагрузки в брутто-ставке обозначается f и выражается в % или долях единицы. Общая формула расчета брутто-ставки имеет вид:
f
Если доля нагрузки выражена в %, то:
Брутто-ставка = Нетто-ставка/1- f *100
Данная формула для определения брутто-ставки является общей для всех видов страхования. Однако методы расчета входящей в эту формулу нетто-ставки различаются по видам страхования.
План практического занятия:
1. Состав и структура тарифной ставки.
2. Общие принципы расчета нетто - и брутто - ставки.
Вопросы, обсуждаемые на практическом занятии:
1. Цена страховой услуги и факторы, влияющие на ее величину.
2. Структура страховой премии.
3. Методология обоснования нетто – премии по риску. Уровень гарантии безопасности.
4. Методические основы расчет брутто – ставки и брутто- премии.
Понятие и структура брутто-премии
Определение 1
Брутто-премия – это определенная условиями договора страхования сумма денежных средств, которую обязан уплатить страхователь страховой компании за определенный период времени.
В структуре брутто-премии выделяют нетто-премию и нагрузку.
Нетто-премия необходима для выполнения обязательств страховой компании по договорам страхования. Может состоять из следующих элементов:
- рисковой премии, предназначенной для покрытия ущерба при наступлении страхового случая;
- рисковой надбавки, необходимой для возмещения повышенного ущерба в случае возможного увеличения вероятности наступления рискового события;
- сберегательного взноса, используемого только в страховании жизни и предназначенного для накопления определенной суммы денежных средств в течение срока действия договора с последующей выплатой.
Рисковая премия присутствует всегда в составе нетто-премии и предназначена для формирования страхового резервного фонда, а рисковая надбавка учитывается при расчете нетто-премии по усмотрению страховой компании и идет на формирование запасного фонда.
Нагрузка, входящая в структуру брутто-премии, представляет собой затраты страховой компании на осуществление своей деятельности и ее прибыль.
Затраты включают в себя традиционные издержки, характерные для любого предприятия (заработная плата, аренда, командировочные расходы, коммунальные платежи и т.д.) и специфические издержки, которые применимы только к страховой отрасли (выплата комиссионных вознаграждений страховым агентам и брокерам, осуществление предупредительных мероприятий, проведение экспертиз с целью определения размера ущерба и т.д.).
Замечание 1
В зависимости от вида страхования, а также затрат страховой компании на осуществление своей деятельности, соотношение нетто-премии и нагрузки могут быть различными. Чаще всего в общей величине брутто-премии 70-80% составляет нетто-премия, остальное – нагрузка.
В общем случае брутто-ставку $Тб$ равна:
$Тб = Тн / (100 - Н) 100$, где:
$Тн$ – нетто-ставка,
$Н$ – нагрузка, определенная в процентах от брутто-ставки.
Если нагрузка определена в рублях, то брутто-ставка равна:
$Тб = Тн + Н$
При расчете брутто-премии наиболее важное значение имеет определение оптимального размера нетто-премии, т.к. от этого зависит последующая платежеспособность и финансовая устойчивость страховщика. Поэтому ее расчету уделяют повышенное внимание.
Расчет нетто-ставки по рисковым видам страхования
Определение 2
Нетто-ставка – это показатель, равный величине нетто-премии, рассчитанной на одну единицу (обычно 100 рублей) страховой суммы.
Методика расчета нетто-ставки по рисковым видам страхования подразумевает наличие достаточного объема статистических данных, необходимых для осуществления точных расчетов, прогнозируется заключение большого количество договоров (на один и тот же срок), а также предполагается отсутствие событий, которые могут повлечь за собой выплаты сразу по нескольким страховым случаям.
В соответствии с методикой формула для вычисления нетто-ставки $Тн$ имеет вид:
$Тн = То + Тр$, где:
$То$ – рисковая премия (часть) нетто-ставки,
$Тр$ – рисковая надбавка.
Рисковая премия рассчитывается следующим образом:
$То = Q Sb ⁄ S 100$, где:
$Q$ – вероятность, с которой возможно наступление страхового события,
$Sb$ – средний размер страховой выплаты,
$S$ – средний размер страховой суммы.
$Q = M ⁄ N$, где:
$M$ – количество произошедших страховых событий,
$N$ – количество заключенных за определенный период времени договоров.
Средний размер страховой выплаты равен отношению суммы выплат по всем договорам к количеству договоров:
$Sb = (∑Sbi) ⁄ M$
Средний размер страховой суммы равен отношению суммарной величине страховых сумм по всем договорам к количеству этих договоров:
$S = (∑Si) ⁄ N$
Рисковая надбавка $Тр$ равна:
$Тр = То α(γ) √ ((1 – Q + (Rb ⁄ Sb)^2) / (N Q))$, где:
$Rb$ – среднеквадратичное отклонение средней страховой выплаты,
$α(γ)$ – коэффициент, который зависит от выбранной страховой компанией вероятности γ того, что взносов хватит для покрытия ущерба. Значение берется из таблицы:
Рисунок 1. Значения коэффициентов. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ
Расчет нетто-ставки по страхованию жизни
К основным факторам, влияющим на размер нетто-ставки при страховании жизни, можно отнести:
- возраст и пол страхуемого лица;
- срок действия договора и порядок уплаты взносов;
- прогнозируемая доходность средств, поступивших в страховой резервный фонд страхования жизни, в случае их инвестирования.
Расчет нетто-ставки основан на данных таблиц о смертности населения определенного возраста и средней продолжительности жизни.
Для начала рассчитываются необходимые показатели
Вероятность наступления смерти в заданный год жизни $Qx$ вычисляется по формуле:
$Qx = Bx ⁄ Lx$, где:
$Bx$ – количество человек, которое умирает в период от $x$ до $x + 1$ лет,
$Lx$ – общее количество человек, доживших до х лет;
Вероятность, с которой человек доживет до заданного возраста, $Px$ равна:
$Px = L(x+1) ⁄ Lx$, или:
С учетом того, что договоры по данному виду страхования имеют длительный период действия, а средства, поступающие от страхователя, могут использоваться страховой компанией для инвестирования с целью получения дополнительного дохода, для корректировки итоговой нетто-ставки используют множитель $V^n$ равный:
$V_n = 1 ⁄ (1+i)_n$, где:
$i$ – норма доходности от инвестирования,
$n$ – количество лет, на которое вкладываются средства.
В итоге размер нетто-премии ${Ex}_n$ на дожитие будет равен:
${Ex}_n = (L(x+n) V_n) / Lx S$, где:
$L(x+n)$ – количество человек, доживших до завершения срока, на который заключен договор,
$n$ – срок, на который заключен договор,
$S$ – величина страховой суммы.
Нетто-ставка на возможность смерти ${Az}_n$ равна:
${Az}_n = (Bx ∙ V + B(x+1) ∙ V_2 + ⋯ +B (x+n-1) ∙ V_n) / Lx ∙ 100$, где:
$Bx, B(х+1)…B(x+n-1)$ – количество человек, умирающих в период с $х$ лет до $х+1$, рассчитанное по каждому году срока действия договора.
При заключении договора комбинированного страхования и на дожитие, и на возможность смерти нетто-ставка будет равна:
$Тн = {Ex}_n + {Az}_n$
Такой метода расчета нетто-ставки применим при условии, что вся сумма страхового платежа вносится сразу за весть период страхования. Если же страхователь желает разделить сумму взноса на несколько частей, равное количеству лет страхования, то размер ежегодного платежа $P^x$ будет равен:
$Р_x = {Ed}_x / α_x$, где:
${Ed}_x$ – размер рассчитанного единовременного платежа,
$α_х$ – коэффициент рассрочки, который представляет собой стоимость платежей в размере одной денежной единицы. Фактически данный показатель по величие близок к значению количества лет, на которые заключается договор, но получается чуть ниже него. В итоге величина ежегодных платежей превышает значение, равное простому делению единовременного взноса на количество лет страхования. В этом случае страховщик возмещает потери, которые он несет от невозможности инвестировать всю сумму сразу и получить от этого доход.
п-летнее смешанное страхование жизни
Нетто-премия вычисляется по формуле:
Полное страхование жизни, отсроченное на т лет
При этом виде страхования нетто-премия вычисляется по формуле:
п-летнее временное страхование жизни, отсроченное на т лет
Полное страхование жизни с непрерывно возрастающим пособием
19. Расчет нетто-премий при полном страховании жизни с выплатой страхового пособия в конце последнего года жизни.
РАСЧЕТ НЕТТО-ПРЕМИЙ ДЛЯ ОСНОВНЫХ ДИСКРЕТНЫХ
ВИДОВ СТРАХОВАНИЯ
Исходя из определения дискретных видов страхования, и понятия актуарной стоимости можно получить следующие формулы для вычисления нетто-премий:
1. Полное страхование жизни с выплатой страхового пособия в конце последнего года жизни .
Нетто-премия вычисляется как
является дискретным анализом непрерывной упрощающей функции .
20. Расчет нетто-премий при п-летнем временном и смешанном страховании жизни с
выплатой страхового пособия в конце последнего года жизни.
п -летнее временное страхование жизни с выплатой пособия в конце года смерти
3. п -летнее смешанное страхование жизни с выплатой пособия в конце года смерти
4. Полное страхование жизни с выплатой страхового пособия в конце последнего года жизни, отсроченное на т лет
5. Полное страхование жизни с ежегодно возрастающем пособием и выплатой пособия в конце последнего года жизни
Обозначив , можем записать в виде
Здесь - это дискретная упрощающая функция.
21. Связь между непрерывным и дискретным видами страхования жизни.
Дискретное страхование жизни- страховая сумма выплачивается в конце года смерти. Вычисления можно проводить непосредственно по таблицам продолжительности жизни.
Вычислив нетто-премии при дискретном страховании жизни, можно вычислить и нетто-премии при соответствующих видах непрерывного страхования. Для того чтобы связать между собой непрерывные и дискретные виды страхования необходимо сделать определенные предположения о законе распределения времени жизни для дробных возрастов.
Обычно предполагают, что этот закон – равномерный. Известно, что в этом случае случайные величины и независимы, и имеет равномерное распределение на . Тогда можем получить следующие формулы, связывающие нетто-премии для соответствующих непрерывных и дискретных видов страхования:
Приведенные выше формулы позволяют вычислять разовые нетто-премии по непрерывным видам страхования через характеристики , , , которые достаточно просто вычисляются по данным, приводимым в общих таблицах продолжительности жизни.
22. .Анализ суммарного иска в модели долгосрочного страхования жизни.
Пусть в момент времени страховая компания заключила договоров страхования жизни. Обозначим через - премии, а через - величину страхового пособия, выплачиваемого по - ому договору в случайный момент времени . Расположим величины в порядке возрастания: . Тогда в момент времени капитал компании можно вычислить как
и компания не разорится, если будет выполнено условие вида:
где - современная стоимость выплаты по - ому договору страхования. Вероятность неразорения будет вычисляться по формуле:
которая аналогична соответствующей формуле для краткосрочного страхования жизни. То есть расчет вероятности неразорения при долгосрочном страховании производится так же, как и при краткосрочном страховании с величинами убытков .
Тогда плата за страховку будет иметь вид:
где - нетто-премия по - ому договору, а - соответствующая страховая надбавка, которая вычисляется аналогично краткосрочному страхованию жизни.
В простейшем случае, когда страховая надбавка делится пропорционально математическим ожиданиям, получаем:
При более сложных моделях долгосрочного страхования не всегда удается выразить:
а) вероятность неразорения в виде простой формулы вида (32);
б) нетто-премии и страховые надбавки в виде (34).
Нетто-премия
Итак, показано, что нетто-премия, обеспечивающая безубыточность страхования, должна быть выше рисковой премии, рассчитанной на основе принципа эквивалентности обязательств сторон. Разность между ними называется рисковой надбавкой, а отношение этой разности к рисковой премии - относительной рисковой надбавкой. Рассмотрим процедуру формирования нетто-премии в договорах с распределенным ущербом.
В страховании принято оперировать специальной денежной суммой - единицей страховой суммы (е.с.с), зависящей от валюты страны, например, 1 е.с.с. = 100 руб.
Рассмотрим пример. Индивидуальный иск принимает три значения: 0; 1; 4 е.с.с. с вероятностями 0,9965, 0,0030, 0,0005 соответственно. Найти нетто-премию.
Среднее значение и дисперсия индивидуального иска:
Тогда условия обеспечения 95%-ой надежности (вероятности выживания) с использованием нормальной аппроксимации получим: используя рисковую премию и учитывая число договоров; найдем нетто-премию:
Тогда относительная надбавка равна:
Итак, рисковая премия равна 0,0050; рисковая надбавка равна 0,0017; нетто-премия равна 0,0067; брутто-премия (при) составит: 0,0067/0,88=0,76, это превысит рисковую премию в 1,5 раза.
Анализ однородного страхового портфеля с применением нормальной аппроксимации
Продолжим рассматривать вышеизложенную задачу (о рисковой надбавке).
Напомним: надо исследовать процесс:
Собранные нетто-премии обеспечивают возможность выполнить свои обязательства по выплате возмещений, если число страховых случаев не превысит 110. Для надежности 96% (если то) необходимо иметь возможность оплатить случаи до 117-го включительно. Отметим, что 117-ый случай либо произойдет, либо нет, поэтому необходимо округлить 116,6 до ближайшего целого большего числа. Надо обеспечить возможность выплаты страховой суммы по 117 случаям. Действительная вероятность разорения при этом составит:
Надежность несколько выше, чем требует Страхнадзор.
Если на рынке установилась средняя относительная рисковая надбавка 10%, то произвольно повысит её до 16,6% (или до 17%) страховщик не может из-за конкуренции. Поэтому он вынужден для повышения своей надежности либо вкладывать свои средства (т.е. капитал) - создавать начальный резерв, либо прибегнуть к перестрахованию.
Рассмотрим первую возможность. Итак, страховщику не достает средств для выплаты 7 страховых случаев, т.е. ему нужен капитал в размере 7 страховых возмещений. Например, если страховая сумма равна 500, то капитал, при котором гарантируется заданная надежность, равен а не
Анализируем вторую возможность. Предположим, что на перестрахование передаются случаи от 111-го до 117-го включительно. Это означает, что если число случаев превысит 117, то перестраховщик оплачивает указанные случаи, а все следующие возмещает цедент. Поэтому будем использовать локальную теорему Лапласа (так как размер выплат фиксирован) и найдем вероятности:
Например,
Так получены вероятности: 0,0021; 0,0019; 0,0016; 0,0014; 0,0012; 0,0010; 0,0008. Вероятность придется искать по интегральной теореме Лапласа:
Тогда математическое ожидание выплат перестраховщика равно:
Это и есть рисковая премия в перестраховочном договоре.
Если известна относительная надбавка у перестраховщика, то можно найти нетто-премию в этом договоре. Например, тогда: (Около 2/3 одной страховой суммы.) Следовательно, цедент имеет альтернативу: либо держать резерв в 7 страховых сумм, либо безвозвратно заплатить перестраховщику 2/3 одной страховой суммы. Если цедент может инвестировать свои временно свободные средства под процент, больший, чем 0,654/7,0=9,4%, то перестрахование может быть оплачено за счет прибыли.
Если у страховщика своих средств для резерва нет (или он считает целесообразным пустить свои средства в оборот), заключается договор о перестраховании. Распределим зоны ответственности.
При страховщик выплачивает возмещение за счет собранных нетто-премий. При ответственность делится между страховщиком и перестраховщиком. Первый выплачивает фиксированное число возмещений: , а второй - все остальное: . Наконец, при риск не обеспечен, это и составляет предпринимательский риск страховщика. (Страховщик считает, что в его портфеле не может произойти более 117 случаев. Поэтому он не принимает мер на случай этой ситуации. Он не создает резерв и не вносит в перестраховочный договор условие выплаты перестраховщиком возмещения в 118-м страховом случае. Если произойдет 118-й страховой случай, перестраховщик оплатит лишь 7 случаев, возникает техническое разорение цедента).
Отметим, что левая граница ответственности перестраховщика может быть сдвинута. За перестрахование надо платить, своих средств у страховщика нет, поэтому он пытается расплатиться деньгами своих клиентов. (В принципе, страховщик всегда использует деньги клиентов для решения возникающих проблем. Здесь имеется в виду собранная в этом году единовременная суммарная нетто-премия).
Он собрал взносов на сумму: , а средние ожидаемые выплаты составляют, поэтому ожидаемая прибыль (до перестрахования) составит 5000. Страховщик делится ожидаемой прибылью с перестраховщиком для повышения своей надежности. Но это означает, что собранных средств недостаточно для оплаты возмещения, по крайней мере, 110-го случая.
Весь риск X можно разбить на три части: Y - риск страховщика, Z - риск перестраховщика, W - необеспеченный риск. Очевидно, X=Y+Z+W , тогда M(X)=M(Y)+M(Z)+M(W). При расчете дисперсий следует учесть ковариацию. Для анализа дисперсии (и процесса в целом) надо выбрать аппроксимацию. Поскольку, то применить закон Пуассона нельзя, но допустима нормальная аппроксимация.
Однако надо быть готовым к появлению неточностей, вызванных изменением закона распределения. Например, потерей «хвостов» нормального распределения, невозможностью принять отрицательные значения, погрешностями при замене дискретного распределения непрерывными, различием результатов при использовании локальной теоремы Лапласа и интегральной теоремы Лапласа и т.д. (Кстати, если ущерб фиксирован, т.е. общий ущерб в портфеле кратен числу страховых случаев, то локальная теорема предпочтительнее!). Наконец, есть и вычислительные погрешности.
Это обстоятельство иллюстрирует сложность актуарных задач. В учебном курсе демонстрируется лишь принципиальный подход. На цивилизованном страховом рынке в условиях жесткой конкуренции выигрывает тот, кто считает точнее (!).
Итак, надо найти M(X), M(Y), M(Z) (и возможно, M(W)).
Для нормального закона распределения плотность
выполняется условие:
тогда понятно, что при сужении интервала интегрирования до (0,n) интеграл от положительной функции уменьшится, поэтому математическое ожидание всего риска X будет несколько меньше, чем
Для дальнейшего нам понадобится при разных,
Обозначим этот интеграл через
Итак, установлено, что
Для вычисления интеграла типа J сделаем замену переменных, традиционную при работе с нормальным распределением:
тогда: следовательно:
Итак, необходимо только вычислить и использовать свойства экспоненты и функции Лапласа.
1. на практике:
и при большом портфеле
Итак, риск страховщика после перестрахования составил:
следовательно,
страховой компания договор ущерб
На практике необходимо указать, кто возмещает 110-й случай, поэтому
Риск перестраховщика достаточно мал, что объясняется сравнительно большим. Интересно, что суммарный риск страховщика и перестраховщика равен Это из-за отказа от 100%-й надежности. Разность 4,06 должна составить необеспеченный риск.
Подведем итоги: Несовпадение объясняется приведенными в начале раздела факторами. Отметим, что страховщик может рассчитывать на увеличение своей ожидаемой прибыли до возмещений (7370). А за перестрахование придется заплатить всего е.с.с. (391 условных единиц), что вполне приемлемо! Разница зачисляется в резерв, что позволит в будущем обойтись без перестрахования (или повысить надежность, или снизить надбавку, повысив тем самым свою конкурентоспособность).